Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 22:59

Są przestrzenie:

\(\displaystyle{ V=\begin{cases} x+2y-3w=0\\x+y-2z=0\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ W=\begin{cases} 3x+y-z-3w=0\\x+y-z-w=0\end{cases}}\)

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V+W}\).

Jak tu należy postępować?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 19 lis 2016, o 23:01

Wyznacz najpierw bazy. Potem zbierasz obie bazy razem i szukasz w tym układzie maksymalnego niezależnego układu.

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 23:52

Bazę \(\displaystyle{ V}\) znalazłem taką: \(\displaystyle{ \left\{ \left( -3,3,1,0\right),\left( 4,-2,0,1\right) \right\}}\) i bazę \(\displaystyle{ W}\) taką: \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,1,0\right),\left( 2,-1,0,1\right) \right\}}\)
i co teraz mam z tym zrobić?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 19 lis 2016, o 23:59

No to teraz znajdz rząd macierzy stworzonej z tych wektorów.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 00:21

No to rząd mi wychodzi \(\displaystyle{ 4}\). Co z tego wynika?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 10:58

No to masz odpowiedź. \(\displaystyle{ V+W=\RR^{4}}\)
Co więcej. \(\displaystyle{ \RR^{4}= V \oplus W}\)

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 16:23

A co to jest \(\displaystyle{ V+W}\)? To są wektory spełniające jednocześnie te wszystkie cztery równania? I dlaczego tak?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 16:29

No to jest to czego szukamy (suma algebraiczna przestrzeni).

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 16:36

No dobra, ale jak się ma \(\displaystyle{ V+W}\) do tych równań? Wiem, że \(\displaystyle{ V}\) to rozwiązania pierwszego układu, \(\displaystyle{ W}\) drugiego. A \(\displaystyle{ V+W}\)?? I dlaczego?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 16:39

\(\displaystyle{ V+W = \left\{ w+v : w \in W , v\in V\right\}}\)
czyli są to wszystkie kombinacje liniowe obu przestrzeni.
wystarczy zatem połączyć obie bazy i znaleźć nowa baze z tych wektorów.
Okazało się (ufam Twoim obliczeniom), że połączenie tych dwóch baz dopełnia się nam do \(\displaystyle{ \RR^4}\) i \(\displaystyle{ \dim A \cap B=0}\) a stąd ta nasza suma jest w istocie sumą prostą.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 16:42

Dlaczego są to wszystkie kombinacje liniowe obu przestrzeni?? I czym w takim razie różni się tutaj \(\displaystyle{ V+W}\) i \(\displaystyle{ V \cap W}\)?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 17:13

no różnica jest zasadnicza.

wezmy prostszy przykład z podprzestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2}\)

\(\displaystyle{ W=\left\{ (x,y) \in \RR^2 : x=y\right\}}\)

\(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y) \in \RR^2 : x=-y\right\}}\)

te podprzestrzenie to proste na płaszczyznie.
ich suma algebraiczna generuje całe \(\displaystyle{ \RR^2}\), ale część wspólna jest wektorem zerowym.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 21:19

A dobra chyba wiem, jak się rozpisze postacie wektorów z tych przestrzeni to faktycznie widać.

No dobra, a w takim razie skąd wiesz, że \(\displaystyle{ V \cap W=\left\{ 0\right\}}\)
??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 21:23

\(\displaystyle{ \dim \left( A+B \right) = \dim A + \dim B - \dim \left( A \cap B\right)}\)