Opisać równaniami

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 21:56

Niech \(\displaystyle{ \alpha _1=\left( 1,1,1\right) , \alpha _2=\left( 1,2,3\right) , \beta _1=\left(1,-1,1 \right) , \beta _2=\left( 4,1,2\right)}\). Opisać \(\displaystyle{ \Lin\left( \alpha _1,\alpha _2\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \Lin\left( \beta _1,\beta _2\right)}\) równaniami.

No i tu na ćwiczeniach była omawiana metoda, której do końca nie rozumiem. Może ktoś podać metodę jak się to wyznacza i uzasadni dlaczego to jest poprawna metoda?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 19 lis 2016, o 22:58

Tutaj trzeba znać przede wszystkim definicję liniowej powłoki.

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 23:01

Liniowej powłoki?? U mnie czegoś takiego wogle nie było.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 19 lis 2016, o 23:04

\(\displaystyle{ \Lin A}\) - to jest liniowa powłoka. (span)

\(\displaystyle{ \Lin\left( \alpha _1,\alpha _2\right)}\) to przestrzen wszystkich kombinacji liniowych wektorów \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2}\)

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 19 lis 2016, o 23:06

Skoro piszesz \(\displaystyle{ lin \{ v_{1}, v_{2} \}}\) to musiało być, bo to jest właśnie powłoka liniowa.
No ale może po prostu nazywaliście to podprzestrzenią rozpiętą na wektorach \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\).

Powłoka liniowa danego zbioru wektorów, to zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów z tego zbioru.

O co chodzi?

Jeśli mamy zbiory złożone z dwóch wektorów, to bierzemy pierwszy wektor z danego zbioru, mnożymy go przez skalar, a potem dodajemy do niego drugi wektor pomnożony przez drugi skalar. Dla większej ilości wektorów - analogicznie.

Potrafisz to zapisać równaniem?

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 23:55

No to dla tej pierwszej:
\(\displaystyle{ a\left( 1,1,1\right)+b\left( 1,2,3\right)}\)
tylko nie wiem do czego to przyrównać??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 00:01

czyli... pierwsza współrzedna naszej powłoki ma postać: \(\displaystyle{ a+b}\) itd.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 00:06

Czyli to trzeba przyrównać do tego:
\(\displaystyle{ a\left( 1,1,1\right)+b\left( 1,2,3\right)=\left( x _1,x _2,x _3\right)}\)
,gdzie \(\displaystyle{ \left( x _1,x _2,x _3\right)}\) to dowolny wektor z tej powłoki, tak?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 20 lis 2016, o 00:07

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 00:09

No dobra do tej pory kapuję. Jak z tego teraz wziąć układ równań?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 20 lis 2016, o 00:11

\(\displaystyle{ a+b=x_{1}}\) - pierwsze równanie

Równania powstają z przyrównania współrzędnych.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 23:02

Z tego otrzymamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=x _1\\a+2b=x _2\\a+3b=x _3\end{cases}}\)

Ale z tego ma wyjść jedno równanie więc jak je dostać?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 3 gru 2016, o 12:39

\(\displaystyle{ a=x_{1}-b}\)

\(\displaystyle{ b+x_{1}+2b =x_{2}}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{x_{2}-x_{1}}{3}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{x_{2}-x_{1}}{3} + x_{1} = x_{3}}\).

I przekształcamy to ostatnie równanie.