Podać przykład i obliczyć współrzędne

[max123321]

\(\displaystyle{ \alpha _1=\left( 1,3,1,3\right),\alpha _2=\left( 3,8,2,9\right),\alpha _1=\left( 1,5,2,6\right),\beta=\left( 0,3,2,3\right)}\)

Podać przykład wektora \(\displaystyle{ \gamma}\), że \(\displaystyle{ \alpha _1,\alpha _2,\beta,\gamma}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\). Niech \(\displaystyle{ y _{1},y _2,y _3,y _4}\) będą współrzędnymi wektora \(\displaystyle{ \alpha _3}\) w tej bazie . Znaleźć \(\displaystyle{ y _4}\).

No to sprowadziłem to do postaci schodkowej zredukowanej, gdzie są trzy niezerowe wiersze więc dorzuciłem wektor \(\displaystyle{ \left( 0,0,0,1\right)}\) do bazy. No i potem napisałem układ równań:
\(\displaystyle{ \alpha _3=y _1 \alpha _1+y _2 \alpha _2+y _3 \beta+y _4 \alpha _4}\) i rozwiązałem go macierzowo i dostałem, że współrzędne tego wektora w tej bazie mają wartości:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{5}, \frac{1}{5} , \frac{3}{5} , \frac{6}{5} \right)}\).

Dobrze?

[mmaciejewski]

Jest błąd w treści (\(\displaystyle{ \alpha_1\sim\alpha_3}\) -- proszę, popraw).

Wektor \(\displaystyle{ (0,0,0,1)}\) jest dobrze dobrany.
Dalej jest niestety źle.
Warto zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ \alpha_3}\) jest liniowo zależny od wektorów \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\beta}\). Zatem \(\displaystyle{ \alpha _3=y_1 \alpha_1+y_2 \alpha _2+y_3 \beta}\), a stąd \(\displaystyle{ y_4=0}\).

Zadanie polega na znalezieniu jedynie \(\displaystyle{ y_4}\), więc to kończy rozwiązanie zadania.