Znaleźć podprzestrzeń

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 17:29

Znaleźć podprzestrzeń \(\displaystyle{ \left( \ZZ _{2} \right) ^{3}}\)opisaną równaniem
\(\displaystyle{ \left\{ x _{3} =0\right\}=\left\{ \left( 1,0,0\right),\left( 0,1,0\right),\left( 0,0,0\right),\left( 1,1,0\right) \right\}}\)

Co to znaczy znaleźć podprzestrzeń? Znaleźć jej bazę? Jak to tutaj zrobić?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 19 lis 2016, o 21:40

Tak, trzeba znaleźć bazę. W tym przypadku możesz napisać, że jest to podprzestrzeń generowana przez \(\displaystyle{ \left\{ (1,0,0),(0,1,0)\right\}}\).

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 21:42

A dlaczego to się tak uprościło?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 19 lis 2016, o 21:49

Bo dobierając odpowiednie skalary, za pomocą tych dwóch wektorów możesz otrzymać dwa pozostałe. Zerowy to po prostu któryś minus ten sam. A jak dodasz pierwszy z drugim to wyjdzie ten ostatni.

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 21:51

No dobra, a dlaczego nie na przykład \(\displaystyle{ \left\{ (1,0,0),(1,1,0)\right\}}\)??

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 19 lis 2016, o 21:53

tak też jest ok.

Yelon · Post autor: **Yelon** » 19 lis 2016, o 21:55

Akurat w tym przykładzie możesz wziąć dowolne dwa prócz zerowego.

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 22:12

A tak na marginesie jeśli mamy 3 wektory zależne to dowolny z nich jest kombinacją pozostałych?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 19 lis 2016, o 23:11

Dualny91 · Post autor: **Dualny91** » 19 lis 2016, o 23:14

Nie jest to prawda. Prawdą jest za to, że układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

max123321 · Post autor: **max123321** » 19 lis 2016, o 23:58

No, ale jak? Weźmy sobie wektory: \(\displaystyle{ \left( 1,0\right),\left( 0,1\right),\left( 1,1\right)}\)
To, który jest kombinacją liniową pozostałych?? Przecież dowolny z nich jest kombinacją pozostałych.

Yelon · Post autor: **Yelon** » 20 lis 2016, o 00:06

No dowolny jest kombinacją pozostałych, dlatego dowolne dwa sa bazą.

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 lis 2016, o 00:08

a Dualny twierdzi, że jest inaczej.

??

Lider_M · Post autor: **Lider_M** » 20 lis 2016, o 00:11

Wszystko zależy w jakiej jesteśmy przestrzeni i jakie to są wektory, np. wektory \(\displaystyle{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jak najbardziej są lin. niezależne.

Yelon · Post autor: **Yelon** » 20 lis 2016, o 00:12

Ma racje. Wystarczy że jeden jest kombinacją liniową pozostałych, wtedy juz mamy układ liniowo zależny.