Czy są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\):
a)Wielomiany
b)Funkcje spełniające \(\displaystyle{ f\left( 0\right)=1}\)
c)Funkcje spełniające \(\displaystyle{ f\left( 1\right)=0}\)
d)Funkcje spełniające \(\displaystyle{ f\left( x\right)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
No to a) jest podprzestrzenią bo spełnia oba warunki. Suma wielomianów jest wielomianem i iloczyn wielomianu przez liczbę jest wielomianem.
b)Nie jest bo suma dowolnych funkcji dających w zerze jeden, da nam w zerze 2.
c)Jest bo spełnia dwa warunki, suma takich funkcji dalej da w jedynce zero i iloczyn funkcji przez skalar znowu da w jedynce zero.
d)Nie jest bo jeśli weźmiemy skalar \(\displaystyle{ -1}\) i wymnożymy przez funkcję to dostaniemy funkcję, która jest poniżej zera dla iksów większych od zera.
