Udowodnić, że każdy wektor przestrzeni \(\displaystyle{ \CC ^{4}}\) rozpiętej na wektorach
\(\displaystyle{ \left( i,1,-i,-1\right),\left( i,-i,1,-1\right),\left( 1,0,0,-1\right)}\) spełnia warunek:
\(\displaystyle{ x _1+x _2+x _3+x _4=0}\), ale nie każdy \(\displaystyle{ x _4=0}\)
No to chyba bierzemy po prostu dowolny wektor z tej przestrzeni i on jest takiej postaci:
\(\displaystyle{ \alpha \left( i,1,-i,-1\right)+\beta \left( i,-i,1,-1\right)+ \gamma \left( 1,0,0,-1\right)=
\left( \alpha i+\beta i+\gamma,\alpha-\beta i,-\alpha i+\beta,-\alpha-\beta-\gamma\right)}\)
Czyli \(\displaystyle{ \alpha i+\beta i+\gamma+\alpha-\beta i-\alpha i+\beta-\alpha-\beta-\gamma=0}\) czyli spełnia ten pierwszy. Natomiast drugi to weźmy se wektor \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,-1\right)}\) on należy do tej przestrzeni bo to jeden z wektorów rozpinających, a czwartą współrzędną ma różną od zera czyli nie spełnia. Dobrze?
