Wykazać równoważność

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ V,W}\) są podprzestrzeniami liniowymi pewnej przestrzeni liniowej. Pokazać, że
Suma \(\displaystyle{ V \cup W}\) jest podprzestrzenią liniową\(\displaystyle{ \Leftrightarrow V \subset W}\) lub \(\displaystyle{ W \subset V}\).

Tutaj jakoś dowód powinien być przeprowadzony na zasadzie warunku logicznego:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \Rightarrow \neg p}\)
Ale nie bardzo rozumiem jak.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

Mam nadzieję, że implikacja \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) jest oczywista. By wykazać drugą załóż, że żadna z inkluzji \(\displaystyle{ V \subset W, W \subset V}\) nie zachodzi i pokaż, że wówczas \(\displaystyle{ V \cup W}\) nie może być p-nią liniową. Sprawa jest prosta: z definicji zawierania, skoro żadna z inkluzji nie zachodzi, to istnieją wektory \(\displaystyle{ v \in V \setminus W, w \in W \setminus V}\). Wyprodukuj z nich wektor nie należący do \(\displaystyle{ V \cup W}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

Dla mnie nic nie jest oczywiste, więc może najpierw wytłumacz dlaczego ta implikacja w lewo zachodzi.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

Przecież to rozumowanie wgl nie zależy od tematyki. Prawdziwe jest stwierdzenie: Jeśli zbiory \(\displaystyle{ V,W}\) spełniają \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ V \subset W}\) lub \(\displaystyle{ W \subset V}\), to \(\displaystyle{ V \cup W}\) spełnia \(\displaystyle{ p}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Jan Kraszewski »

To jest podstawowy fakt z teorii mnogości: \(\displaystyle{ V \subset W \Leftrightarrow V\cup W=W.}\)

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

A to chyba wynika po prostu z teorii mnogości. Że jeśli \(\displaystyle{ V \subset W}\) to \(\displaystyle{ V \cup W=W}\) i drugi przypadek analogicznie. Tak?
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

Tak.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

No to podejrzewam, że suma \(\displaystyle{ v+w}\) ma nie należeć do \(\displaystyle{ V \cup W}\), gdzie \(\displaystyle{ v \in V \setminus W, w \in W \setminus V}\). Ale jak to pokazać-nie wiem.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

Tak. Gdyby ten wektor należał do sumy, to należałby do jednego z nich, powiedzmy do \(\displaystyle{ V}\). Zatem \(\displaystyle{ v,v+w \in V, w \notin V}\). Czy jest to możliwe?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

No pewnie nie jest możliwe i to chyba z definicji podprzestrzeni, że jeśli \(\displaystyle{ v,w \in V}\) to \(\displaystyle{ v+w \in V}\), a to nie wszystkie te przypadki mamy spełnione.
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

max123321 pisze:No pewnie nie jest możliwe i to chyba z definicji podprzestrzeni, że jeśli \(\displaystyle{ v,w \in V}\) to \(\displaystyle{ v+w \in V}\), a to nie wszystkie te przypadki mamy spełnione.
Ale przecież w definicji przestrzeni liniowej nie ma równoważności, tylko właśnie implikacja, w tym przypadku poprzednik tej implikacji jest fałszywy, nie można wyciągać wniosków.
Trzeba to zrobić inaczej. Zapisz wektor \(\displaystyle{ w}\) za pomocą wektorów \(\displaystyle{ v,v+w}\) i wywnioskuj sprzeczność.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykazać równoważność

Post autor: max123321 »

\(\displaystyle{ v \in V}\), więc z warunku drugiego podprzestrzeni mamy, że \(\displaystyle{ -v \in V}\) oraz \(\displaystyle{ v+w \in V}\), więc z warunku pierwszego pp. mamy, że \(\displaystyle{ \left(v+w \right)+\left(-v \right) \in V}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ w \in V}\) wbrew założeniu.

Czyli wykazaliśmy, że istnieją wektory \(\displaystyle{ v,w \in V \cup W}\), że \(\displaystyle{ v+w \notin V \cup W}\) czyli nie spełnia 1 warunku podprzestrzeni. Zgadza się?
Dualny91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 414
Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 98 razy

Wykazać równoważność

Post autor: Dualny91 »

Zgadza się.
ODPOWIEDZ