Najmniejsza podprzestrzeń liniowa

[max123321]

\(\displaystyle{ V,W}\)-podprzestrzenie liniowe pewnej przestrzeni liniowej. Pokazać, że najmniejszą podprzestrzenią liniową zawierająca \(\displaystyle{ V \cup W}\) jest suma algebraiczna
\(\displaystyle{ V+W=\left\{ v+w:v \in V,w \in W\right\}}\).

Jak to ruszyć?

[Jan Kraszewski]

Pokazać, że:

1. \(\displaystyle{ V+W}\) jest podprzestrzenią liniową;
2. \(\displaystyle{ V+W}\) zawiera \(\displaystyle{ V\cup W}\);
3. \(\displaystyle{ V+W}\) jest najmniejsza ze względu na własności 1. i 2., czyli jeśli \(\displaystyle{ Z}\) jest podprzestrzenią liniową zawierającą \(\displaystyle{ V\cup W}\), to \(\displaystyle{ V+W \subseteq Z}\).

JK

[max123321]

No nie wiem, jak pokazać pierwsze.

[Jan Kraszewski]

Pokazujesz, że \(\displaystyle{ V+W}\) jest zamknięte na dodawanie wektorów i na mnożenie przez skalary.

JK

[max123321]

Aha dobra widzę. To jak pokazać 2?

[Jan Kraszewski]

Wektor zerowy jest zarówno w \(\displaystyle{ V}\) jak i w \(\displaystyle{ W}\).

JK

[max123321]

no dobra i co z tego wynika? Mamy, pokazać, że \(\displaystyle{ V \cup W \subset V+W}\)

[Jan Kraszewski]

Masz pokazać, że \(\displaystyle{ V \subset V+W}\) oraz \(\displaystyle{ W \subset V+W}\).

JK

[max123321]

Ale to jest równoważne z tym : \(\displaystyle{ V \cup W \subset V+W}\)?

[Jan Kraszewski]

Masz wątpliwości?

JK

[max123321]

Nie no po zastanowieniu w sumie nie.

A to już chyba rozumiem o co Ci chodziło z tym wektorem zerowym. Bo jeśli weźmiemy dowolny wektor \(\displaystyle{ v}\) z \(\displaystyle{ V}\) i wektor \(\displaystyle{ 0}\) z \(\displaystyle{ W}\) to \(\displaystyle{ v=v+0}\) czyli \(\displaystyle{ V \subset V+W}\). Analogicznie dla drugiego przypadku. Tak?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[max123321]

No dobra to w takim razie jak pokazać 3?

[Jan Kraszewski]

3. jest nieomalże oczywiste. Ustal takie \(\displaystyle{ Z}\) i pokaż, że \(\displaystyle{ V+W \subseteq Z}\) tak, jak normalnie pokazuje się zawieranie.

JK

[max123321]

No ok czyli mamy udowodnić coś takiego:
\(\displaystyle{ V \cup W \subset Z \Rightarrow V+W \subseteq Z}\)

No to z lewej strony mamy, że:
\(\displaystyle{ V \subset Z \wedge W \subset Z}\)
No to teraz weźmy dowolne \(\displaystyle{ v \in V}\) i \(\displaystyle{ w \in W}\)
To oznacza, że \(\displaystyle{ v \in Z}\) i \(\displaystyle{ w \in Z}\)
I teraz skoro \(\displaystyle{ Z}\) jest podprzestrzenią to z warunku pierwszego podprzestrzeni zachodzi to:
\(\displaystyle{ v+w \in Z}\). I skoro \(\displaystyle{ v,w}\) były wzięte dowolnie to całe przestrzenie spełniają warunek:
\(\displaystyle{ V+W \subseteq Z}\).

Dobrze?