Czemu to nie jest podprzestrzenią?

[kombajn665]

\(\displaystyle{ V=R[x]}\)
\(\displaystyle{ W=\left\{ p \in R[x] | p(1) \neq p(3)\right\}}\)

[Kacperdev]

Rozpatrz dwa przeciwne wielomiany. Np. \(\displaystyle{ p_1(x)=x \text{ oraz } p_2(x)=-x}\)

[kombajn665]

Rozpatrz dwa przeciwne wielomiany. Np. \(\displaystyle{ p_1(x)=x \text{ oraz } p_2(x)=-x}\)

Jak się rozpatruje coś takiego? Właściwie nie za bardzo rozumiem, że biorę wa dowolne wielomiany, dodaję do siebie, ale co ma do tego \(\displaystyle{ p(1) \neq p(3)}\)? Jak wykorzystać do tego tę własność?

Czy chodzi o to, że mam wybrać sobie np. \(\displaystyle{ p _{1} = 2x, p_{2}=3x ^{2}}\)
i wtedy ich suma \(\displaystyle{ 3x ^{2}+2x = p(x)}\). I on spełnia podaną zależność, a szukamy czegoś, co może nie spełniać? Tak to rozumieć?

[Kacperdev]

Tak, szukamy kontrprzykładu.

Suma dwóch wielomianów jest też wielomianem. Jak dodamy dwa przeciwne wielomiany to powstanie \(\displaystyle{ p(x)=0}\)

\(\displaystyle{ p(1)=p(3)}\)

Zatem wiezlismy dwa wielomiany spełniające własność i dodalismy je do siebie. z def przestrzeni liniowej suma dwóch wektorów musi należeć do przestrzeni. No ale pokazalismy, że jak weźmiemy dwa przeciwne spełniajace to ich suma czasem nie spełnia, a to definitywnie obala teze o tym, że jest to przestrzeń liniowa.
Na tym polega dowodzenie przez kontrprzykład.