Sprawdź czy jest podprzestrzenią

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych. Sprawdź czy jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ C}\) zbiór ciągów takich, że:

\(\displaystyle{ a _n}\) jest ograniczony.

Proszę o sprawdzenie:

Mamy, że:
\(\displaystyle{ \forall n \in \NN \exists M _1>0:|a _n|<M _1}\)
\(\displaystyle{ \forall n \in \NN \exists M _2>0:|b _n|<M _2}\)
zatem
\(\displaystyle{ a _n+b _n \le |a _n|+|b _n|<M _1+M _2=M _3}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ K \in \RR}\)
mamy:
\(\displaystyle{ |a _n|<M _1}\)
zatem
\(\displaystyle{ |K||a _n|=|K a _n|<|K|M _1=M _4}\)
Zatem oba warunki są spełnione czyli jest podprzestrzenią tak?

[Lider_M]

Źle masz definicję ograniczoności.

Ponadto zamiast ograniczać \(\displaystyle{ a_n+b_n}\) chyba chodziło Ci o \(\displaystyle{ |a_n+b_n|}\).

[max123321]

Aha no racja.
Powinno być:
\(\displaystyle{ \exists M _1>0 \forall n \in \NN a _n|<M _1}\)
\(\displaystyle{ \exists M _2>0 \forall n \in \NN b _n|<M _2}\)

I brakuje jeszcze tego:
\(\displaystyle{ |a _n+b _n| \le |a _n|+|b _n|<M _1+M _2=M _3}\)

Zgadza się?

[Lider_M]

Tak.