Sprawdź czy jest podprzestrzenią

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych. Sprawdź czy jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ C}\) zbiór ciągów takich, że:

\(\displaystyle{ a _n}\) jest zbieżny.

Proszę o sprawdzenie:

Weźmy \(\displaystyle{ a _n,b _n}\) zbieżne.
Wtedy dla dowolnego dodatniego epsilona od pewnego n zachodzi:
\(\displaystyle{ |a _n-g _1|<\epsilon}\)
\(\displaystyle{ |b _n-g _2|<\epsilon}\)
Dodając stronami:
\(\displaystyle{ |a _n-g _1|+|b _n-g _2|<2\epsilon}\)
Z nierówności trójkąta mamy, że:
\(\displaystyle{ |\left( a _n+b _n\right) -\left( g _1+g _2\right) |<|a _n-g _1|+|b _n-g _2|<2\epsilon}\)
A \(\displaystyle{ \epsilon}\) możemy wziąć dowolnie małe także \(\displaystyle{ \epsilon/2}\) będzie również dowolnie małe.
Drugi warunek
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \lambda \in \RR}\).
Wymnóżmy
\(\displaystyle{ |a _n-g _1|<\epsilon}\)
przez \(\displaystyle{ |\lambda|}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ |\lambda||a _n-g _1|<|\lambda|\epsilon \Leftrightarrow |\lambda a _n-\lambda g _1|<|\lambda||\epsilon|}\)
\(\displaystyle{ \epsilon}\) jest dowolnie mały zatem również \(\displaystyle{ |\lambda||\epsilon|}\) jest dowolnie mały.

Czyli jest podprzestrzenią. Racja?

[Lider_M]

Mniej więcej dobrze (trochę zapisu bym się czepił, ale to ja).

A musisz to robić z definicji? Skorzystaj z tw. o arytmetyce granic, wtedy będziesz miał warunki (na podprzestrzeń) niemalże za darmo.

[max123321]

No, ta tam to jest od razu. Ale się pokusiłem o dowód tych twierdzeń