Sprawdź czy jest podprzestrzenią

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych. Sprawdź czy jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ C}\) zbiór ciągów takich, że:

a)\(\displaystyle{ a _n}\) jest niemalejący.
b)\(\displaystyle{ 2a _7+ \lim_{ n \to \infty}a _n=0}\)

a)

\(\displaystyle{ \forall n, a _{n+1} \ge a _n}\)
\(\displaystyle{ \forall n, b _{n+1} \ge b _n}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \forall n, a _{n+1}+b _{n+1} \ge a _n+b _n}\)
czyli pierwszy warunek spełniony.
Ale
weźmy \(\displaystyle{ X=-1}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \forall n, -a _{n+1} \le -a _n}\)
A zatem ciąg \(\displaystyle{ c _n=-a _n}\) jest nierosnący.

Czyli nie jest podprzestrzenią.

b) Weźmy \(\displaystyle{ a _n, b _n}\) spełniające założenia.

\(\displaystyle{ 2\left( a _{7}+b _{7} \right)+ \lim_{n \to \infty}\left( a _n+b _n\right) =0 \Leftrightarrow
2a _{7}+ \lim_{n \to \infty} a _n+2b _{7}+ \lim_{n \to \infty} b _n=0+0=0}\)
drugi warunek: Weźmy
\(\displaystyle{ Ka _{n}, K \in \RR}\)
\(\displaystyle{ 2Ka _7+ \lim_{ n \to \infty }K a _n=K\left( 2a _7+\lim_{ n \to \infty } a _n\right)=K \cdot 0=0}\)

Czyli jest podprzestrzenią.

Tak jest dobrze?

[yorgin]

W przykładzie a) nie rozumiem w ogóle, co robisz od momentu \(\displaystyle{ X=-1}\).

W przykładzie b) trochę dziwnie rozpisany jest warunek pierwszy, choć można z niego wyciągnąć to, co powinno się dostać (wystarczy usunąć pierwszy znak równości i znak równoważności).

[max123321]

No w przykładzie a) mnożę po prostu nierówność \(\displaystyle{ a _{n+1} \ge a _n}\) przez \(\displaystyle{ X}\) i rozpatruję nowy ciąg \(\displaystyle{ Xa _n}\)

Co do b) to racja, powinno być chyba
\(\displaystyle{ 2\left( a _{7}+b _{7} \right)+ \lim_{n \to \infty}\left( a _n+b _n\right) =2a _{7}+ \lim_{n \to \infty} a _n+2b _{7}+ \lim_{n \to \infty} b _n=0+0=0}\)

Zgadza się?

[yorgin]

a) Może i mnożysz, ale wyjaśniasz to dopiero po zapytaniu. Poza tym \(\displaystyle{ X}\) jest oznaczeniem, którego nie stosowałbym nigdy na skalar. Podobnie jak \(\displaystyle{ K}\). Tradycyjnie zbiory oznacza się dużymi literami, a ich elementy - małymi.

Problem w rozumowaniu jest następujący: ciąg o wyrazach przeciwnych do ciągu niemalejącego jest istotnie nierosnący. Ale co z tego? Przecież istnieją ciągi niemalejące takie, że ciągi o wyrazach do nich przeciwnych są nadal niemalejące.

Idziesz w dobrym kierunku, ale zamiast wskazania konkretnego przykładu budujesz dużo znaczków, z których nie wynika jednoznaczna odpowiedź.

Weź więc jakiś konkretny, jawnie opisany ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) i pokaż na nim to, co chcesz.

b) Zgadza się.

[max123321]

No w sumie ta, obalam tą tezę czyli powinienem podać kontrprzykład.

No to weźmy \(\displaystyle{ a _n=n}\) jest niemalejący.
Ale ciąg \(\displaystyle{ b _n=-a _n=-n}\) jest malejący.

Czyli nie jest podprzestrzenią.

[yorgin]

Bardzo dobrze.