Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza przestrzeń liniową ciągów rzeczywistych. Sprawdź czy jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ C}\) zbiór ciągów takich, że:

a)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a _n=0}\)
b)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a _n=1}\)

Co do a) to myślę, że w ten sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ a _n,b _n \in C}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a _n=0 \wedge \lim_{n \to \infty}b _n=0}\)
weźmy teraz sumę \(\displaystyle{ a _n+b _n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( a _n+b _n\right)= \lim_{n \to \infty}a _n+ \lim_{n \to \infty}b _n =0}\) to wynika z tego, że granica sumy ciągów zbieżnych jest równa sumie granic.

Teraz weźmy ciąg \(\displaystyle{ Xa _n,X \in \RR}\). Widać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}Xa _n= X\lim_{n \to \infty}a _n=X \cdot 0=0}\), to też chyba wynika, z jakiejś własności ciągów, tylko nie wiem jakiej, zgadza się?

Zatem jest podprzestrzenią.

Co do b)
Weźmy \(\displaystyle{ a _n,b _n}\), że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a _n=1 \wedge \lim_{n \to \infty}b _n=1}\), wtedy ciąg \(\displaystyle{ a _n+b _n}\) ma granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left( a _n+b _n\right) = \lim_{n \to \infty}a _n+ \lim_{n \to \infty}b _n=1+1=2 \neq 1}\)
Drugiego warunku już nie trzeba sprawdzać, ale też nie zachodzi bo:
Weźmy \(\displaystyle{ Xa _n \in C}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}Xa _n=X \lim_{n \to \infty}a _n=X \cdot 1 \neq 1}\) w ogólności.

Czyli nie jest podprzestrzenią, zgadza się?
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: Peter Zof »

Jest ok

Własność o którą Ci chodzi to jest część twierdzenia o arytmetyce granic. Z grubsza mówi ono o tym, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ g \in \mathbb{R}}\) to dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) ciąg \(\displaystyle{ \{\lambda \cdot a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ \lambda \cdot g}\).

Na marginesie dodam, abyś pamiętał używając tego twierdzenia, jakie są jego założenia. Zakładamy bowiem, że ciąg ten jest zbieżny, bo dla dowolnego ciągu rozbieżnego i \(\displaystyle{ \lambda=0}\) to twierdzenie oczywiście nie zadziała. Dowodzi się go bardzo prosto, gdybyś chciał to zrobić i miał problemy to pisz śmiało!
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: max123321 »

Aha to dobrze, że ta własność jest . Szukałem na wikipedii pod hasłem "granica ciągu" i byłem zdziwiony, że jej nie ma.

A w sumie możesz pokazać, że ta własność właśnie zachodzi? Bo nigdzie nie mogę tego znaleźć.
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: Peter Zof »

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) zbiega do \(\displaystyle{ g \in \mathbb{R}}\) to znaczy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) znajde takie \(\displaystyle{ N \in \mathbb{N}}\), że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) będzie zachodzić nierówność \(\displaystyle{ |a_n-g|<\epsilon}\). To zakładamy. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\). Chcemy pokazać, to samo tyle że dla ciągu \(\displaystyle{ \{\lambda \cdot a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\). Kandydatem na granicę jest oczywiście \(\displaystyle{ \lambda \cdot g}\). Popatrzmy na \(\displaystyle{ |\lambda a_n - \lambda g|= |\lambda | \cdot|a_n-g|}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ |a_n-g|<\epsilon}\) od pewnego miejsca (to znaczy, dla dużych wartości \(\displaystyle{ n}\)), tak więc \(\displaystyle{ |\lambda| |a_n-g|<\epsilon}\) też od pewnego miejsca. Zatem \(\displaystyle{ \lambda g}\) jest granicą tego ciągu.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: max123321 »

Ta, ale pracując na tym samym epsilonie dojdziemy do nierówności:
\(\displaystyle{ |\lambda a_n - \lambda g|<|\lambda| \epsilon}\), ale \(\displaystyle{ \epsilon}\) dobieraliśmy dowolnie tak więc iloczyn \(\displaystyle{ \lambda \epsilon}\) może być dowolnie mały, więc możemy przyjąć nowy \(\displaystyle{ \epsilon'=|\lambda| \epsilon}\) dowolnie mały. Zgadza się?
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Sprawdź czy jest podprzestrzenią

Post autor: Peter Zof »

Tak!
ODPOWIEDZ