Wykazać, że istnieje układ

max123321 · Post autor: **max123321** » 12 lis 2016, o 21:43

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową wymiaru \(\displaystyle{ n}\). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k \le n+1}\) istnieje w \(\displaystyle{ V}\) układ liniowo zależny \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{k}}\) taki, że każdy jego podukład właściwy jest liniowo niezależny.

Tutaj to już wogóle nie mam pomysłu.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2016, o 21:56

Myślę, że chcesz złapać za dużo srok...
Wsk. weż bazę i rozszerz ją o jeden wektor, który ma w tej bazie wszystkie współrzędne niezerowe.

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 lis 2016, o 15:27

Ta chyba widzę. Można wziąć bazę standardową zero-jedynkową i wektor \(\displaystyle{ \left( 1,1,1,....,1)\right)}\), mający same jedynki. Wtedy układ ten jest zależny i po usunięciu tego wektora jedynkowego dostajemy niezależną bazę, a po usunięciu któregoś z wektorów bazowych, możemy poprzez kombinację liniową uzyskać usunięty wektor przez odjęcie od wektora jedynkowego wszystkie pozostałe wektory.

Tak jest dobrze?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 lis 2016, o 22:56

jest ok