Znajdź równanie obrazu krzywej \(\displaystyle{ y^{2} - x^{2} = \frac{1}{2}}\) po obrocie o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)
Rozwiązanie:
Chcąc wyliczać ze wzoru na obrót wzór przekształcenia odwrotnego należałoby rozwiązać poniższy układ równań ze względu na x i y:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{'} = xcos\frac{\pi}{3} - ysin\frac{\pi}{3} \\ y^{'} = xsin\frac{\pi}{3} + ycos\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)
Rachunki wtedy by były skomplikowane. Wystarczy jednak zauważyć, że przekształcenie odwrotne do obrotu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest obrotem o kąt \(\displaystyle{ -\alpha}\) . Wyraża się ono wzorem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = x^{'}cos(-\alpha) - y^{'}sin(-\alpha) \\ y = x^{'}sin(-\alpha) + y^{'}cos(-\alpha) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = x^{'}cos(\alpha) + y^{'}sin(\alpha) \\ y = -x^{'}sin(\alpha) + y^{'}cos(\alpha) \end{cases}}\)
Wtedy dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3}}\) otrzymujemy wzór: \(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{1}{2}x^{'} + \frac{\sqrt{3}}{2}y^{'} \\ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^{'} + \frac{1}{2}y^{'}\end{cases}}\) . Wstawiając x i y do równania krzywej mamy:
\(\displaystyle{ ( -\frac{\sqrt{3}}{2}x^{'} + \frac{1}{2}y^{'})^{2} - (\frac{1}{2}x^{'} + \frac{\sqrt{3}}{2}y^{'})^{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{'}^{2} - \frac{1}{2}y^{'}^{2} - \sqrt{3}x^{'}y^{'} = \frac{1}{2}}\)
Podstawiając na koniec x i y pod \(\displaystyle{ x^{'}}\) i \(\displaystyle{ y^{'}}\) możemy ostatecznie zapisać równanie obrazu krzywej \(\displaystyle{ y^{2} - x^{2} = \frac{1}{2}}\) przez obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\):
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} - 2\sqrt{3}xy = 1}\)
Ćwiczenie jest ze skryptu do algerby liniowej:
Kod: Zaznacz cały
http://www.math.uni.wroc.pl/~mgrec/2012/skrypt1.pdfI mam spory problem ze zrozumieniem pewnej rzeczy. Otóż rozumiem wzory na obrót x i y o jakiś kąt - i gdybym chciał wykonać polecenie z tego ćwiczenia to po prostu bym to obrócił korzystając z tego wzoru. Tutaj natomiast jest wykorzystywane przekształcenie odwrotne - mam pytanie dlaczego? W ogóle wydaje mi się, że przez to ta krzywa jest obracana przez \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{3}}\) a nie o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) . Po co w ogóle używać przekształcenia odwrotnego w tym przypadku, lub w przypadku innych przekształceń? Zupełnie tego nie rozumiem. Dlaczego nie użyć po prostu przekształcenia o które nas proszą i koniec? Jestem całkowicie skonfundowany, i prosiłbym o pomoc.
Z góry dziękuję.