Wykazać, że układ jest liniowo niezależny

[max123321]

Niech funkcje \(\displaystyle{ f _{1}\left( x\right)=\left| x-1\right|,f _{2}\left( x\right)=\left| x-2\right|,f _{3}\left( x\right)=\left| x-3\right|}\) będą elementami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ F\left( R,R\right)}\) wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że układ \(\displaystyle{ f _{1},f _{2},f _{3}}\) jest liniowo niezależny.

Żeby to były wektory to bym wiedział jak pokazać, że układ jest liniowo niezależny, ale że to są funkcje to nie wiem jak "uchwycić" ich współrzędne. Jedyne co umiem napisać to to:
\(\displaystyle{ a\left| x-1\right|+b\left| x-2\right|+c\left| x-3\right|=0}\)
I trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą być równe zeru. I co dalej?

[bartek118]

Podstaw różne \(\displaystyle{ x}\). Na przykład \(\displaystyle{ x=1}\), potem \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ x=3}\).

[max123321]

A dlaczego możemy podstawić różne \(\displaystyle{ x}\)? Chyba musimy to wykazać, dla dowolnych argumentów.

[a4karo]

No to skoro dla dowolnych argumentów, to w szczególności dla tych, które podstawisz. JAk podstawisz dobre, to dostaniesz układ równań, z którego wyliczysz współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\)

[max123321]

No, ale jak podstawię inne \(\displaystyle{ x}\) to mogę dostać inne współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\). A to ma być chyba jednoznaczne.

[a4karo]

Spróbuj

[max123321]

No sprawdziłem dla \(\displaystyle{ x=1,x=2,x=3}\) i dostałem \(\displaystyle{ a=0,b=0,c=0}\), ale skąd wiem, czy dla innych \(\displaystyle{ x}\) nie dostanę jakiś \(\displaystyle{ a,b,c}\) różnych od zera?

[Premislav]

Ale to przecież nie ma znaczenia.

Działasz w przestrzeni liniowej, której elementy są funkcjami. Warunek
\(\displaystyle{ a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0}\) ma być spełniony jednocześnie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), więc w szczególności dla tych trzech. Chodzi bowiem o równość z wektorem zerowym tej przestrzeni, czyli funkcją stale równą zeru.

[a4karo]

Jeżeli dostałeś, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) jest jedynym rozwiązaniem, to już wystarczy dla niezależności.


Gdyby ukłąd równań okaza się zależny, to miałbyć dwie drogi: albo spróbowac inne punkty, albo (jak już nazbierasz dośc dużo dowodów tego typu) próbować udowodnic hipotezę o liniowej zależności.

[max123321]

To znaczy jak miałby wyglądać tutaj ten warunek liniowej niezależności?

\(\displaystyle{ \forall x \in \RR: a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0 \Rightarrow a=b=c=0}\) to układ jest liniowo niezależny?
Jeśli tak to sugerowałoby, że trzeba sprawdzić dla każdego \(\displaystyle{ x}\).
Chyba, że to powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \exists x \in \RR: a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0 \Rightarrow a=b=c=0}\) to układ jest liniowo niezależny.
To która wersja?

[a4karo]

To znaczy jak miałby wyglądać tutaj ten warunek liniowej niezależności?

\(\displaystyle{ \forall x \in \RR: a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0 \Rightarrow a=b=c=0}\) to układ jest liniowo niezależny?
Jeśli tak to sugerowałoby, że trzeba sprawdzić dla każdego \(\displaystyle{ x}\).

Tak własnie jest i to trzeba sprawdzić.

Zauważ, że nie musisz sprawdzać warunku \(\displaystyle{ \forall x \in \RR: a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0}\).

To zakładasz i masz stąd wyciągnąć wniosek, żę \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)

Chyba, że to powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \exists x \in \RR: a|x-1|+b|x-2|+c|x-3|=0 \Rightarrow a=b=c=0}\) to układ jest liniowo niezależny.
To która wersja?

Nie.

[max123321]

Niestety jeszcze Was trochę pomęczę bo nie rozumiem . Jak tu należy rozumieć funkcję? Bo ja cały czas patrzę na to jak na wektory. Jak to się ma jedno do drugiego? Jak by to były współrzędne wektora to wystarczyło by jedno równanie i z tego otrzymalibyśmy kilka równań, z których by się wyliczyło te współczynniki. A z funkcją to jak? Jak na pary uporządkowane trzeba patrzeć?

[a4karo]

Wektorem nazywamy elementy przestrzeni liniowej.
W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej masz do czynienia z wyrazeniami typu \(\displaystyle{ (a_1,\dots,a_n)}\) Tutak \(\displaystyle{ a_i}\) jest wpółczynnikiem przy $i$-tej współrzędnej.

A jak wymiar przestrzeni jest większy, to masz no. ciagi ew. funkcje (wartośc funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\) odpowiada (z grubsza mówiąc) \(\displaystyle{ x}\)-tej współrzędnej.

[max123321]

A no teraz to jest logiczne . Czyli te funkcje możemy rozpatrywać jako wektory, których po prostu \(\displaystyle{ i-}\)ta współrzędna to argument funkcji równy \(\displaystyle{ i}\), a wartość na tej współrzędnej to wartość funkcji w danym punkcie. Czyli tutaj byśmy mieli coś takiego:

\(\displaystyle{ a\left( ...,2,...,1,...,0,...,1,...\right)+b\left( ...,3,...,2,...,1,...,0,...\right)+c\left( ...,3,...,2,...,1,...,0,...\right)}\), gdzie wartości współrzędnych w tych wybranych punktach są na współrzędnych:\(\displaystyle{ -1,0,1,2}\).
No i teraz widać, że dostaniemy 4 równania z których wyjdzie, że układ jest liniowo niezależny, a pozostałych współrzędnych nie trzeba rozpatrywać, bo te 4 równania nam "wymuszają" te zera, tzn. ,że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Uważam, że takie rzeczy powinni tłumaczyć na ćwiczeniach.