Matematyka.pl

w zależności od wartości parametru a rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ x_{1} \ + \ ax_{2} \ + \ x_{3} \ = \ a \\
ax_{1} \ + \ x_{2} \ + \ x_{3} \ = \ 1 \\
x_{1} \ + \ x_{2} \ + \ ax_{3} \ = \ a^{2}}\)

Obliczyłem wyznacznik, który wyszedł mi 0...nie mam za bardzo pomysłu jak to policzyć, proszę o pomoc...

[ Dodano: 9 Września 2007, 16:07 ]
hmm no cóż patrząc na ten układ od tak dochodze do tego że a = 1, a wtedy układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań...nie wiem czy to dobra odpowiedź może jakieś sugestie??

Sprawdź swoje obliczenia, mi wyznacznik główny wyszedł:
\(\displaystyle{ a+a+a-1-a^3-1=-a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2)}\)

Oblicz pozostałe wyznaczniki, później sprawdź, kiedy układ jest oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny. Powinno wyjść

Wyznacznik jest taki jak napisał mój poprzednik. Co do samego rozwiazania zacytuję twierdzenie Kroneckera-Capellego:
Układ równań liniowych ma rozwiązanie rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Jeżeli rzędy te są równe liczbie niewiadomych to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Z powyższego twierdzenia wynika że dla a różnego od 1 oraz -2 układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Natomiast co się dzieje gdy a wynosi 1 lub -2 sprawdzamy bezposrednio wstawiając żadaną wartość.
U nas wychodzi dla a=1 nieskonczenie wiele rozwiazan, dla a=-2 układ sprzeczny.

dzięki chłopaki za odp. no cóż wyznacznik wyszedł mi poprawny tylko ja go pozostawiłem w postaci\(\displaystyle{ -a^{3} + 3x - 2}\) z czego wywnioskowałem że a=1 i układ wtedy posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Z powyższego twierdzenia wynika że dla a różnego od 1 oraz -2 układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

a da się to jakoś policzyć? czy to poprostu może być jako odpowiedź do zadania, trochę się z tym pogubiłem

To wynika bezpośrednio z tego twierdzenia - nasz układ równań jest oznaczony (tzn. posiada jedno rozwiązanie) główny wyznacznik jest różny od zera, czyli dla a różnego od 1 oraz -2. Pozostałe 2 przypadki można sprawdzić przez bezpośrednie podstawienie (aby sprawdzić czy wyjdzie sprzeczność czy tożsamość).

Chociaż lepiej zastosuj rozwiązanie Drizzt, moje uzasadnienie jest na poziomie wiedzy licealnej

Jest to odpowiedz do zadania.
Możesz tak uzasadnić:
Wyznacznik macierzy głównej poza tymi dwoma przypadkami jest różny od zera, czyli rząd macierzy głownej jest równy 3, i jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej. No a niewiadome są oczywiscie 3.

dzięki wielkie