Pole trójkąta

[max123321]

Udowodnij, że pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ 0,a,b \in \CC}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left| \Im\left( \bar{a}b\right) \right|}\).

Pierwsze moje pytanie czy to jest dobry wzór?(nie wiem czy dobrze przepisałem). A po drugie może jakaś wskazówka?

[janusz47]

Rysunek.

Pole \(\displaystyle{ P}\) równoległoboku:

\(\displaystyle{ P = |a|h = |a|\cdot |b|\cdot \sin(\phi) = |a|\cdot |b| (-\sin(-\phi)) = -|a|\cdot |b| \cdot \frac{Im( a\cdot \overline{b})}{|a\cdot \overline{b}|} = -Im(a\cdot \overline{b}).}\)

Stąd wynika, że pole trójkąta:

\(\displaystyle{ |P| = \frac{1}{2}|Im(a\cdot \overline{b})|.}\)

Proponuję książeczkę:

Witold Więsław Liczby i geometria, str. 160-161. WSiP. Warszawa 1996

[yorgin]

Minimalnie inaczej:

Pole trójkąta to

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|a||b||\sin\theta|}\)

gdzie \(\displaystyle{ \theta}\) jest kątem między wektorami.

Z interpretacji geometrycznej wektorów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) mamy, że \(\displaystyle{ \theta=\alpha-\beta}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest argumentem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) argumentem \(\displaystyle{ b}\) (przyjmuję \(\displaystyle{ \alpha>\beta}\), drugi przypadek jest analogiczny).

\(\displaystyle{ \theta}\) to suma dwóch kątów: \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ -\beta}\). A jak wiadomo, \(\displaystyle{ \arg(z\cdot w)=\arg z+\arg w}\), więc \(\displaystyle{ \theta}\) jest argumentem wektora \(\displaystyle{ a\overline{b}}\).

Z postaci geometrycznej liczby zespolonej z kolei wiadomo, że
(edit: poprawiłem błąd z częścią urojoną, zachowując oryginał w kolorze czerwonym)
\(\displaystyle{ \sin\theta=\red\Im(a\overline{b})=\black \frac{\Im(a\overline{b})}{|a\overline{b}|}}\). Przyda się jeszcze własność sprzężenia \(\displaystyle{ \Im z=-\Im\overline{z}}\),

Spróbuj to pozbierać, a może otrzymasz właściwe rozwiązanie. Korzystam tu z prostych własności i interpretacji geometrycznej, więc również polecam zrobić rysunek.

[max123321]

Yorgin to korzystając z Twojej wskazówki dostaję, że:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|a||b||\sin\theta|=\frac{1}{2}|a||b||\Im(a\overline{b})|}\)

Za dużo o te \(\displaystyle{ |a||b|}\).??

[yorgin]

Pardon, zgubiłem mianownik.

\(\displaystyle{ \sin\theta=\frac{\Im(a\overline{b})}{|a\overline{b}|}}\)