Potęgowanie macierzy-wzór

[ooolllaaa8883]

Jaki jest ogólny wzór na potęgowanie macierzy kwadratowej?

[miodzio1988]

Do czegoś konkretnego jest Ci to potrzebne? Daj jakiś kontekst, bo metod jest kilka

[ooolllaaa8883]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\3&-2\end{array}\right]^{n}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}\right]^{n}}\)

tego typu

[NogaWeza]

Albo mnożysz tą macierz kilka razy i szukasz jakiejś zależności, a potem udowadniasz indukcyjnie, albo sprowadzasz do postaci Jordana i wtedy potęgujesz.

[Mariusz M]

NogaWeza, możesz coś więcej napisać o rozkładzie Jordana ?
Głównie chodzi o znajdowanie macierzy przejścia dla macierzy która nie jest diagonalizowalna
Dla macierzy diagonalizowalnej wystarczy policzyć wartości i wektory własne
Wektory własne w macierzy przejścia ustawiamy w tej samej kolejności co wartości własne
w macierzy diagonalnej
Jak to jest w przypadku gdy macierz nie jest diagonalizowalna ?

[NogaWeza]

mariuszm, coś Ty się tak uwziął na tą algebrę liniową? Jak macierz nie jest diagonalna to najlepiej szukać uogólnionych wektorów własnych rzędu \(\displaystyle{ k}\), czyli takich, że \(\displaystyle{ v \in \mbox{ker} (A - \lambda I)^k}\), ale \(\displaystyle{ v \notin \mbox{ker} (A - \lambda I)^{k+1}}\). Potem takim wektorem można wygenerować sobie

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector#Jordan_chains

, a potem te wektory odpowiednio poustawiać.

[Mariusz M]

Co do zaproponowanych macierzy to pierwsza jest diagonalizowalna
z drugą będzie problem gdy \(\displaystyle{ \cos{ \alpha }=1 \vee \cos{ \alpha }=-1}\)

NogaWeza, chodzi o to że w skryptach mam nieco inny sposób rozwiązywania
układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach niż wam podają na wykładach
a nigdzie w sieci nie znalazłem ogólnego sposobu znajdowania macierzy przejścia

Odpowiednio poustawiać - liczba permutacji to silnia więc trochę możliwości będzie


Jeżeli chodzi o potęgowanie macierzy to pewnie z rozwiązaniem układu równań różnicowych
można by coś wymyślić

[NogaWeza]

Ja w swoich skryptach (AGH) miałem jakąś rekurencyjną formułę \(\displaystyle{ (A - \lambda I)v_{k+1} = v_{k}}\) gdy skończą się wektory własne, ale ten sposób w jednym czy dwóch przypadkach okazał się nieudolny (albo moje zdolności obliczeniowe po prostu zawiodły), więc zacząłem korzystać z tego sposobu na szukanie jąder \(\displaystyle{ (A - \lambda I), ... (A - \lambda I)^{k}}\) dopóki rząd którejś z tych macierzy nie wyrówna się z krotnością arytmetyczną \(\displaystyle{ \lambda}\), a potem łańcuch Jordana.

A to się ustawia zgodnie z tymi klatkami Jordana w macierzy Jordana, nie będę tłumaczył bo tylko namieszam, ale w tym linku który dałem w poście jest jakiś przykład.

A o jakim konkretnie sposobie rozwiązywania stacjonarnych układów mówisz? Chodzi o rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ y(t) = e^{A(t-t_0)} x(t_0)}\) czy o coś jeszcze bardziej wyszukanego?

[Mariusz M]

Co jeśli się zdarzy że układ równań \(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)v_{2}=v_{1}}\)
będzie sprzeczny dla każdego znalezionego wektora własnego ?
np \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 2&-2&-3 \\2&-3&-6\\-1&2&4 \end{bmatrix}}\)
Wygląda na to że kilka początkowych potęg macierzy \(\displaystyle{ A-\lambda I}\)
trzeba znaleźć mnożąc macierze przez siebie

Jeśli chodzi o ten układ to nic bardziej wyszukanego ale skoro rozwiązanie
jest postaci \(\displaystyle{ y\left( t\right)=e^{At}y_{0}}\) to nie musimy szukać macierzy przejścia
wystarczy że znajdziemy \(\displaystyle{ k}\) liniowo niezależnych wektorów będących rozwiązaniem
równania \(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)^{k}v=0}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) to krotność wartości
własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) ,wystarczy wtedy policzyć \(\displaystyle{ y=e^{At}y_{0}=e^{\lambda t+\left( A-\lambda I\right)t }y_{0}=e^{\lambda t}e^{\left( A-\lambda I\right)t }y_{0}}\)
Wiedząc że \(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)^{k}v=0}\) nie musimy sumować wyrazów szeregu
do nieskończoności
Jeśli mamy macierz o elementach rzeczywistych to wartości własne zespolone
występują parami sprzężone więc jeśli chcemy mieć rzeczywiste wektory wystarczy
oddzielić część rzeczywistą od części urojonej


Tutaj chcemy obliczyć potęgę więc rozwiązujemy układ równań różnicowych
a nie różniczkowych
Postępowanie jest podobne ale ponieważ mnożenie przez macierz diagonalną jest przemienne
możemy użyć dwumianu Newtona




W skryptach które czytałem mam takie sposoby rozwiązywania równań różniczkowych

1. Metoda całek pierwszych
(zapisanie układu równań w postaci symetrycznej i znalezienie niezależnych całek pierwszych
tyle niezależnych całek pierwszych ile równań )
2. Metoda eliminacji (podobna do metody podstawiania dla układów znanych z algebry)
3. Metoda Eulera (wartości własne i uogólnione wektory własne)
4. Metoda operatorowa (zastosowanie przekształcenia Laplace)


Niech \(\displaystyle{ \Phi\left( t\right)}\) będzie macierzą fundamentalną układu równań różniczkowych

\(\displaystyle{ e^{At}=\Phi\left( t\right)\Phi^{-1}\left( 0\right)}\)

Może coś podobnego da się zrobić w przypadku równań różnicowych
czy rekurencyjnych (jeszcze się tym nie bawiłem)

Kod: Zaznacz cały

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0

Tutaj jest odnośnik do pdf


Po polsku znalazłem coś takiego




Co do tego rekurencyjnego wzoru to jeśli dostawałeś więcej niż jeden liniowo niezależny
wektor własny wtedy jako kolumnę wyrazów brałeś ich kombinację liniową aby
\(\displaystyle{ r\left( A-\lambda I\right)=r\left( A-\lambda I|v\right)}\)
czy tylko wybierałeś dowolny wektor własny jako kolumnę wyrazów wolnych