Nieskończony ciąg podprzestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Nieskończony ciąg podprzestrzeni

Post autor: max123321 »

Wykazać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\) istnieje nieskończony ciąg podprzestrzeni \(\displaystyle{ 2}\)-wymiarowych taki, że dla każdych \(\displaystyle{ i \neq j}\), \(\displaystyle{ W _{i} \cap W _{j}=\left\{ 0\right\}}\).

Myślę, że coś tu trzeba pokombinować z postacią wektorów bazowych, ale nie bardzo widzę jak to zrobić.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Nieskończony ciąg podprzestrzeni

Post autor: Slup »

Wybierzmy rodzinę \(\displaystyle{ \{(x_n,y_n)\}_{n\in \mathbb{N}}}\) niezerowych wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) takich, że:
\(\displaystyle{ (x_n,y_n)\neq k(x_m,y_m)}\)
dla każdych \(\displaystyle{ n\neq m}\) oraz \(\displaystyle{ k\in \mathbb{R}}\).
Definiujemy
\(\displaystyle{ W_n=\mathrm{lin}((x_n,y_n,0,0),(0,0,x_n,y_n))\subseteq \mathbb{R}^4}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (z_1,z_2,z_3,z_4)\in W_n\cap W_m}\), to
\(\displaystyle{ (ax_n,ay_n,bx_n,by_n)=(z_1,z_2,z_3,z_4)=(cx_m,cy_m,dx_m,dy_m)}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \mathbb{R}}\). Zatem
\(\displaystyle{ a(x_n,y_n)=c(x_m,y_m)}\)
oraz
\(\displaystyle{ b(x_n,y_n)=d(x_m,y_m)}\). To jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\). Zatem \(\displaystyle{ (z_1,z_2,z_3,z_4)=0}\).
Oznacza to, że \(\displaystyle{ W_n\cap W_m=\{0\}}\).
ODPOWIEDZ