Dobra to próbuję tak:
założenie:
\(\displaystyle{ \exists a _1,...,a _k,a _{k+1}:a _1\alpha _1+...+a _k\alpha _k+a _{k+1}\beta=0 \wedge \exists i,a _i \neq 0}\)
I to jest równoważne:
\(\displaystyle{ a _1,...,a _k,a _{k+1}:a _1\alpha _1+...+a _k\alpha _k=-a _{k+1}\beta}\)
I teraz jeśli \(\displaystyle{ a _{k+1} \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ -\frac{a _1}{a _{k+1}} \alpha _1-...-\frac{a _k}{a _{k+1}}\alpha _k=\beta}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \exists a' _{1},...,a' _{k}: a' _1\alpha _1+...+a' _k\alpha _k=\beta}\)
Czyli \(\displaystyle{ \beta}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{k}}\).
A jeśli \(\displaystyle{ a _{k+1}=0}\) to dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ a _1\alpha _1+...+a _k\alpha _k=0}\), a to z założenia oznacza, że współczynniki \(\displaystyle{ a _1,...,a _k}\) są równe zeru, więc także
układ \(\displaystyle{ \alpha _1,...,\alpha _k,\beta}\) jest liniowo niezależny, wbrew założeniu.
Zatem ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \beta}\) musi być kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{k}}\).
Zgadza się?