Układ liniowo niezależny

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 paź 2016, o 22:38

Niech \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{k}}\) będzie liniowo niezależnym układem wektorów przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) i niech \(\displaystyle{ \beta \in V}\). Wykazać, że

\(\displaystyle{ \beta \in lin\left( \alpha _{1},...,\alpha _{k}\right) \Leftrightarrow}\) Układ \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta}\) jest liniowo zależny.

Niby znam definicję i wydaje mi się, że mniej więcej wiem o chodzi, ale jakoś nie potrafię tego wykazać. Jak to ugryźć?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 30 paź 2016, o 22:44

Znów moja uwaga o zmęczeniu. Rano zrobisz to bez problemu. To naprawdę łatwe.

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 19:32

Wstałem rano i wcale nie jest lepiej hehe.

Próbuję tak:

\(\displaystyle{ \beta= \sum_{i=1}^{k}a _{i}\alpha _{i}}\)

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ b _{1}\alpha _{1}+...+b _{k}\alpha _{k}+\beta _{k+1}\left( a _{1}\alpha _{1}+...+a _{k}\alpha _{k} \right)=0}\)

I trzeba tu wykazać, że nie wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ b _{i}}\) są równe zero. Ale jednak nie wiem jak to zrobić. I nie wiem czy ta droga jest w ogóle dobra. Ktoś coś?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 31 paź 2016, o 19:36

Pierwszy wzór jest najważniejszy. Przenieś wszystko na lewo. Który współczynnik na pewno nie jest zerem?

Wy, studenci, macie wspaniały talent do doskonałego skomplikowania rzeczy najprostszych. Ale druga prawda jest taka, że aby widzieć prostotę, trzeba doświadczenia. Wczoraj napisałem żonie w kilka sekund rozwiązanie pewnego zadania z forum. Pyta: skąd ty to wiesz? Niby napisałeś, a dla mnie to czarna magia. Z doświadczenia - odpowiadam.

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 20:13

Dlatego próbuję zdobyć doświadczenie .

Czyli mówisz, żebym się popatrzył na to:

\(\displaystyle{ \beta-a _{1}\alpha _{1}-...-a _{k}\alpha _{k}=0}\)

Tylko nie wiem, który współczynnik będzie różny od zera, \(\displaystyle{ \beta}\) ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 31 paź 2016, o 20:18

No to masz pytanie z Teleranka: po wodzie pływa, kaczka się nazywa. Co to za zwierzę? Celowo nie podaję bezpośredniej odpowiedzi na Twoje pytanie. Patrz!!!

Potem podyskutujemy o innym warunku równoważnym liniowej zależności.

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 20:47

No pewnie ten \(\displaystyle{ \beta}\) tak?
Wiem, że \(\displaystyle{ a _{1}\alpha _{1}+...+a _{k}\alpha _{k}=0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zeru, ale jak z tego coś wywnioskować?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 31 paź 2016, o 21:02

Przecież w równaniu \(\displaystyle{ \beta-\sum_{i=1}^ka_i\alpha_i=0}\) masz istotę rzeczy: wektor zerowy jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta}\) i nie wszystkie skalary są równe zeru. Cóż to oznacza?

Udzieliłem odpowiedzi na pytanie z Teleranka.

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 21:06

No oznacza, że układ \(\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta}\) jest liniowo zależny. Ale mnie zastanawia skąd wiesz, że nie wszystkie skalary są równe zeru?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 31 paź 2016, o 21:19

A jaki współczynnik stoi przy \(\displaystyle{ \beta}\)?

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 21:28

aaa no ta . Przy \(\displaystyle{ \beta}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\). Tego nie mogłem zrozumieć.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 31 paź 2016, o 21:31

Czasem rzeczy najprostsze są zakryte. Trzeba otworzyć oczy, aby je dostrzec.

max123321 · Post autor: **max123321** » 31 paź 2016, o 21:33

No racja .

max123321 · Post autor: **max123321** » 12 lis 2016, o 21:28

No ok, a jak pokazać w drugą stronę?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lis 2016, o 21:34

Spróbuj coś napisać, a samo wyjdzie...