Dowody rownania rozniczkowe i roznicowe

[dagaa]

Hej. Dostaliśmy takie dwa dowody na wykładzie i nie wiem za bardzo jak je dowieść.
1. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \dim(GS _{hom}=1 )}\)
2. Udowodnij, że \(\displaystyle{ y _{1} \in GS _{nhom}}\)

[yorgin]

Myślę, że właściwym pierwszym krokiem byłoby wyjaśnienie wszystkich oznaczeń:

\(\displaystyle{ GS_{hom}=?}\)

\(\displaystyle{ GS_{nhom}=?}\)

\(\displaystyle{ y_1=?}\)

[dagaa]

Pokaż, że \(\displaystyle{ y_1}\) jest rozwiązaniem równania liniowego, gdzie
\(\displaystyle{ y _{1}= e ^{-P} \cdot \int_{}^{} (f(x) \cdot e ^{P} )dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x) =p \cdot x}\)
a \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją od \(\displaystyle{ x}\) stojącą po prawiej stronie równania liniowego postaci
\(\displaystyle{ y' +py = f}\)
\(\displaystyle{ p}\)- stała

\(\displaystyle{ GS _{hom}}\) to rozwiązania równania liniowego jednorodnego
\(\displaystyle{ GS _{nhom}}\) rozwiązania równania liniowego niejednorodnego

[yorgin]

Dla dowodu dwójki sprawdź, że funkcja \(\displaystyle{ y_1}\) spełnia równanie różniczkowe.

Dla dowodu jedynki - jak wygląda rozwiązanie ogólne problemu liniowego jednorodnego? Powinno ono być zależne od jakiegoś parametru lub stałej. To zależenie właśnie oddaje wymiar.