Przestrzeń liniowa

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 paź 2016, o 13:46

Czy istnieje przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem liczb rzeczywistych zawierająca niezerową podprzestrzeń złożoną ze skończonej liczby wektorów?

O co ty chodzi?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 30 paź 2016, o 16:23

A jak myślisz? Pytanie jest postawione wręcz łopatologicznie. Jeśli mamy podprzestrzeń niezerową, to istnieje w niej niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\). Skorzystaj z warunku równoważnego bycia podprzestrzenią. Czy są jakieś inne wektory, które muszą należeć do tej podprzestrzeni?

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 paź 2016, o 18:43

Aha no podprzestrzeń spełnia dwa warunki:

Dla każdych \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha +\beta \in W}\) i
\(\displaystyle{ a\alpha \in W}\)

No to jeśli jakiś niezerowy wektor należy to musi należeć też wektor będący sumą, który jest różny od tego wektora niezerowego. Musi też należeć wektor będący sumą tego niezerowego i tej sumy itd. Poza tym też z uwagi na drugi warunek każdy wektor będący przemnożeniem tego wektora przez liczbę rzeczywistą musi należeć, a, że liczb rzeczywistych jest nieskończenie wiele to będzie nieskończenie wiele wektorów należących do tej podprzestrzeni. Czyli nie może istnieć ta przestrzeń. Zgadza się?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 30 paź 2016, o 19:38

Tak. Wystarczy mnożenie przez skalary. Jeśli należy jeden wektor, to i cała prosta przez niego generowana.

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 paź 2016, o 20:18

Dobra no to to mniej więcej kapuje.