Baza przestrzeni

max123321 · Post autor: **max123321** » 29 paź 2016, o 21:51

Niech \(\displaystyle{ W = lin \left( \left( 1, 2, 1, 1\right) ,\left( 2, 5, 6, 4\right) ,\left( 1, 5, 3, 2\right) \right),\left( 1, 2, 2, 2a\right) \right) \subset \left( Z _{7}\right) ^{4}}\). Dla jakich \(\displaystyle{ a \in Z _{7}}\) zachodzi
równość \(\displaystyle{ dim W = 3}\) ?

O co tu chodzi?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 29 paź 2016, o 21:57

O badanie liniowej niezależności wektorów. Zapewne pierwsze trzy są liniowo zależne. Ale pewnie będzie tak, że każde dwa spośród tych trzech są liniowo niezależne. No to musisz wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których dwójka z trzech pierwszych oraz czwarty wektor są liniowo niezależne.

Inaczej można to zrobić macierzowo. Jeśli ustawimy te cztery wektory w macierz, to dla jakich \(\displaystyle{ a}\) jej rząd będzie trzy?

max123321 · Post autor: **max123321** » 29 paź 2016, o 23:11

Normalnie bym zrobił \(\displaystyle{ \alpha\left( 1, 2, 1, 1\right)+\beta\left( 2, 5, 6, 4\right)+\gamma\left( 1, 5, 3, 2\right)=0}\), ale to jest ciało \(\displaystyle{ Z _{7}}\), więc nie bardzo wiem jak tu z tymi działaniami.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 29 paź 2016, o 23:13

Zwyczajnie modulo \(\displaystyle{ 7}\). Pojęcie liniowej niezależności odnosi się do dowolnej przestrzeni liniowej nad dowolnym ciałem.

max123321 · Post autor: **max123321** » 29 paź 2016, o 23:40

a możesz mi pomóc z tym układem?
Z pierwszego równania wyznaczam \(\displaystyle{ \gamma=-\alpha-2\beta}\). Czyli z tego robię \(\displaystyle{ \gamma=6\alpha+5\beta}\)? Jeśli tak to idąc tym rozumowaniem dochodzę do równości:
\(\displaystyle{ 2\beta=-4\alpha}\). I jak to dalej ugryźć?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 1 lis 2016, o 11:06

Ustawiłbym te wektory w macierz i badał jej rząd (oczywiście nad \(\displaystyle{ \ZZ_7}\)). Ustawiłem wektory w wierszach. Zmierzam do wyliczenia rzędu tej macierzy. Po elementarnych przekształceniach modulo \(\displaystyle{ 7}\) dochodzę do postaci

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&0&4\\
0&1&0&0\\
0&0&4&2\\
0&0&0&2a-5
\end{bmatrix}}\)

Widzimy stąd, że pierwsze trzy wektory są liniowo niezależne (rząd macierzy złożonej z trzech pierwszych wierszy to \(\displaystyle{ 3}\)). Pozostaje więc kwestia, kiedy rząd całej macierzy wynosi \(\displaystyle{ 3}\), a kiedy \(\displaystyle{ 4}\) (bo niższy niż \(\displaystyle{ 3}\) nie będzie). Ponieważ macierz jest kwadratowa, możesz to zbadać wyznacznikiem, który tu liczymy trywialnie.

Być może pomyliłem się w rachunkach, ale się bardzo starałem. Widać tu jednak ideę mojego postępowania.

Dla Ciebie pozostaje wyjaśnienie, czemu w badaniu wymiaru posługuję się rzędem macierzy. Odwołaj się do definicji rzędu.