Znaleźć bazę

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ V = \Lin \left( \left( 1, 2, 1, 1\right) ,\left( 2, 5, 6, 4\right) ,\left( 1, 3, 5, 3\right) \right) \subset \RR^{4}}\). Znaleźć bazę,przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) . Podać układ równań
liniowych opisujący przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) .

Nie bardzo wiem jak zabrać się za to zadanie .

[AloneAngel]

Wiesz, że Twoja przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) jest rozpięciem liniowym 3 wektorów. Bazę tej przestrzeni tworzy maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów. Umiesz sprawdzić czy te wektory są liniowo niezależne? Jeżeli się okażą liniowo zależne to umiesz wybrać te liniowo niezależne?

[max123321]

No ta umiem. Będą liniowo zależne i wektor \(\displaystyle{ \left( 2, 5, 6, 4\right)=\left( 1, 2, 1, 1\right)+\left( 1, 3, 5, 3\right)}\). Zatem wybieram wektory niezależne: \(\displaystyle{ \left( 1, 2, 1, 1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1, 3, 5, 3\right)}\). I co te wektory tworzą bazę?

[AloneAngel]

Tak, te wektory tworzą bazę.

[max123321]

No dobra, a jaki będzie ten układ równań opisujący tą przestrzeń?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ a\left( 1, 2, 1, 1\right)+b\left( 1, 3, 5, 3\right)=\left( x,y,z,t\right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=x \\ 2a+3b=y \\ \ldots \\ \ldots \end{cases}}\)

[max123321]

Aha no dobra czyli \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) to będą współrzędne wektora tak?

[Kacperdev]

Tak.