sumowanie sigma

[michu110]

Witam!

Czy ktoś może wytłumaczyć mi jak zabrać się do tych zadań?
1.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{8}(n^{2}-3n+1)= \sum_{n=3}^{10}(???)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{8}(n^{2}-3n+1)= \sum_{n=???}^{???}(n^{2}+n-1)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{20} \sum_{j=2}^{i}(i^{2}-j)^{3}= \sum_{j=???}^{???} \sum_{i=???}^{???}(i^{2}-j)^{3}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{20} \sum_{j=2}^{i}(i^{2}-j)^{3}= \sum_{j=???}^{???} \sum_{i=???}^{???}(i-j^{2})^{3}}\)

2. Zapisz za pomocą znaku sumy:
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{7} + \sin \frac{ \pi }{3} + \sin \frac{3 \pi }{5} +\sin \pi +\sin \frac{ 5\pi }{3}}\)

3. Sprawdź prawdziwość wzoru dla n=1,2,3, a następnie korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij następującą równość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}11...1 = \frac{ 10^{n+1}-9n-10 }{81}}\)
te \(\displaystyle{ (11...1)=i}\) i nie wiem o co w tym chodzi czy to jest jakiś zbiór czy co?

Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie
Z góry dzięki za pomoc

[kerajs]

1.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{8}(n^{2}-3n+1)= \sum_{n=3}^{10}((n-2)^2-3(n-2)+1)= \sum_{n=3}^{10}(n^2-7n+ \red 11 \black)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{8}(n^{2}-3n+1)= \sum_{n=1+k}^{8+k}((n-k)^2-3(n-k)+1)= \sum_{n=1+k}^{8+k}(n^{2}+n-1)\\
n^2-2nk+k^2-3n+3k+1=n^{2}+n-1\\
k=...}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{20} \sum_{j=2}^{i}(i^{2}-j)^{3}= \sum_{j=2}^{20} \sum_{i=2}^{j}(i^{2}-j)^{3}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{20} \sum_{j=2}^{i}](i^{2}-j)^{3}= \sum_{j=???}^{???} \sum_{i=???}^{???}(i-j^{2})^{3}}\)
To dobrze przepisałeś?
2.
\(\displaystyle{ sin\frac{ \pi }{7} + sin \frac{ \pi }{3} + sin \frac{3 \pi }{5} +sin \pi +sin \frac{ 5\pi }{3}= \sum_{i=1}^{5}sin \frac{i \pi }{8-i}}\)

3.
Poszukaj tego zadania na forum

\(\displaystyle{ \magenta Edit \black}\) :
Szczerze mówiąc, jesli nie rozumiesz co robiłem w tych nietrudnych przykładach to tłumaczenie ich nie ma żadnego sensu. Proszę wrócić do początkowych przykładów typu:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{5}i^2=... \\
\sum_{i=1}^{40} \left( \sqrt{2i+1} - \sqrt{2i-1} \right)=...}\)

[arek1357]

te to trzecie to:

\(\displaystyle{ 1+11+111+1111+11111+...+11...1=}\)

proste

[Elayne]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{8}(n^{2}-3n+1)= \sum_{n=3}^{10}((n-2)^2-3(n-2)+1)= \sum_{n=3}^{10}(n^2-7n+11)}\)

[michu110]

Proszę o wytłumaczenie tych zadań bo nie kumam o co tu chodzi?
Jak doszliście do tych wyników?
Pozdrawiam i dzięki