Prostopadłość wektorów

[Maciek0921]

Witam,
potrzebuję pomocy z zadaniem, wydaję się łatwe, ale mam z nim problem i nigdzie nie znalazłem niczego podobnego.

Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) o podanych długościach \(\displaystyle{ |\vec{u}|=3}\) i \(\displaystyle{ |\vec{v}|=4}\). Trzeba obliczyć kąt między tymi wektorami jeśli:
\(\displaystyle{ 3\vec{u}-\vec{v}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}+2\vec{v}}\) są prostopadłe.

[szw1710]

Kiedy dwa wektory niezerowe są prostopadłe? Tylko nie mów że wtedy, gdy kąt między nimi jest prosty, bo to wiem.

[Maciek0921]

Kiedy iloczyn skalarny jest równy zero.

\(\displaystyle{ (3\vec{u}-\vec{v})\circ(\vec{u}+2\vec{v})=0}\) (mnożenie tutaj jest skalarne, ale nie wiem jak zapisać to w Latexie)

Nie wiem co z tym zrobić.

[szw1710]

Symbol mnożenia skalanego to circ

Iloczyn skalarny ma miłą własność: działa się na nim jak na wyrażeniach algebraicznych.

Jak ma się długość wektora do iloczynu skalarnego?

[Maciek0921]

Hmm
Nie wiem, nie mogę tego zwyczajnie wymnożyć?
\(\displaystyle{ 3u^2+5uv-2v^2}\)
Nie wiem jak to mogę przekształcić żeby cokolwiek mi to dało.
Zależność jest taka, że kąt między wektorami jest równy iloczynowi skalarnemu wektorów przez iloczyn długości tych wektorów.

[szw1710]

Zachowaj konwencję. Mnożenie jest tu iloczynem skalarnym. Ponawiam pytanie o związek długości wektora z iloczynem skalarnym.

[Maciek0921]

hmm, pytasz o ten związek: \(\displaystyle{ \vec{u}^2 =\vec{u}\circ\vec{u}^}\)?

[szw1710]

Mniej więcej. No więc czym jest to \(\displaystyle{ \vec{u}^2}\)?

[Maciek0921]

Oczywiście miałem na myśli: \(\displaystyle{ |\vec{u}|^2 =\vec{u}\circ\vec{u}^}\)

Czyli można podstawić pod poprzedni wzór, który wymnożyłem?
\(\displaystyle{ 3u^2+5uv-2v^2}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot 9+5uv-2\cdot 16=0}\)
\(\displaystyle{ 5uv=5}\)
\(\displaystyle{ uv=1}\)
Czyli teraz mogę podstawić do wzoru i wyliczyć kąt.

[szw1710]

No właśnie. Ale pisz składnią LaTeX-a.

[Maciek0921]

Dziękuje za pomoc!