Witam,
na wstępie zaznaczę, że nie mam jakiś super podstaw matematycznych i stąd wynika mój problem :/ mianowicie co oznacza że dana funkcja jest ortogonalna a co oznacza że jest ortonormalna? I dodatkowo jak w praktyce wyglądają funkcje ortogonalne tzn. co się z nimi dzieje, jakie są? Prosiłabym o takie proste wyjaśnienia, że wręcz prymitywne
Z góry dziękuje ^^
Ortogonalność i ortonormalność?
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Ortogonalność i ortonormalność?
Nie może być po prostu ortogonalna, musi być ortogonalne do czegoś/względem czegoś, bo ortogonalność to taka jakby prostopadłość, tyle, że nie koniecznie na płaszczyźnie, a np. w przestrzeni funkcyjnej.
W przestrzeni wektorowej możemy dodawać do siebie wektory, oraz mnożyć je przez liczby. Jest 8 warunków, które zbiór z działaniami musi spełniać, żeby być przestrzenią wektorową. Co ciekawe, wektorami mogą być funkcje, na przykład zbiór wszystkich funkcji ciągłych tworzy przestrzeń wektorową. Jakbyś miała jakieś pytania co do tego to śmiało.
Dalej - żeby mówić o ortogonalności potrzebujemy pojęcia iloczynu skalarnego. Jest to funkcja, która bierze dwa elementy przestrzeni wektorowej i przypisuje im pewną liczbę rzeczywistą. Przestrzeń z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną. Nie będę wypisywał koniecznych warunków, bo nie o to chodzi, jak będziesz ciekawa to sobie sprawdzisz sama. Wektory (elementy przestrzeni wektorowej) są ortogonalne, gdy ich iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
W każdym razie - weźmy jakieś funkcje \(\displaystyle{ f(x), h (x)}\) i określmy pewien iloczyn skalarny w następujący sposób: \(\displaystyle{ <f , g> = \int_{a}^{b}f(x) g(x) \dd x}\). Weźmy sobie \(\displaystyle{ a = -1, b= 1}\) i na przykład sprawdźmy czy funkcje \(\displaystyle{ f(x) = x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = x^3}\) są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego. Liczymy \(\displaystyle{ <f,g> = \int_{-1}^{1} x \cdot x^3 \dd x = = \frac{1}{4} (1^4 - 1^4) = 0}\) - funkcje są ortogonalne. Ale jakbym wziął inny iloczyn skalarny - na przykład \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) g(x) \dd x}\), to już nie musiałoby tam być. Stąd ważny wniosek - o ortogonalności możemy mówić tylko względem jakiegoś konkretnego iloczynu skalarnego.
Przejdźmy do pojęcia normy. Norma to pewna funkcja, która każdemu elementowi przestrzeni wektorowej przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą. Jest to uogólnienie pojęcia wartości bezwzględnej czy też długości wektora. Skoro mieliśmy zwykłe wektorki, takie jak w liceum i mogliśmy liczyć ich długość, to czemu by nie zrobić tego samego dla naszych nowych, bardziej abstrakcyjnych wektorów, czyli funkcji (wektorów, bo elementów przestrzeni wektorowej). No i normy można określać na wiele sposobów, przytoczę na przykład normę \(\displaystyle{ L_2}\).
\(\displaystyle{ \| f \| = \left[ \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \dd x\right]^{\frac{1}{2}}}\)
W sumie bardzo często w przestrzeniach wektorowych unitarnych określa się normę, jak pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora, samego ze sobą, czyli \(\displaystyle{ \| v \| = \sqrt{<v,v>}}\) i zobacz, że w przypadku normy \(\displaystyle{ L_2}\) tak jest, również w zwyczajnym (naturalnym) iloczynie wektorowym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) (takie zwykłe wektory, jakie na pewno znasz) taka sytuacja ma miejsce. Nie musi tak jednak być, można sobie określić jakieś inne normy (jeśli chcesz, to poczytaj o normach \(\displaystyle{ L_p}\)). Można je też określać dla macierzy i wielu innych obiektów matematycznych.
Dobra, dalej - wektor jest znormalizowany, gdy jego norma wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Co zrobić, żeby z wektora, który ma normę różną od \(\displaystyle{ 1}\) zrobić wektor znormalizowany? A no podzielić go, przez jego normę.
Wektory ortonormalne to takie, które nie dość, że są ortogonalne (iloczyn skalarny równy \(\displaystyle{ 0}\)), to jeszcze są znormalizowane (norma równa \(\displaystyle{ 1}\)).
Ciekawe jest następujące zagadnienie: mamy kilka wektorów, liniowo ze sobą niezależnych. Chcemy je tak poprzekształcać, żeby dalej były liniowo niezależne, ale już chcemy, żeby były ortogonalne albo i nawet ortonormalne. Jak to zrobić? Istnieje algorytm, noszący nazwę ortogonalizacji Grama-Schmidta, który dokładnie to pozwala zrobić, ale to nie koniecznie musi Cię interesować, więc nie będę się rozpisywał.
W przestrzeni wektorowej możemy dodawać do siebie wektory, oraz mnożyć je przez liczby. Jest 8 warunków, które zbiór z działaniami musi spełniać, żeby być przestrzenią wektorową. Co ciekawe, wektorami mogą być funkcje, na przykład zbiór wszystkich funkcji ciągłych tworzy przestrzeń wektorową. Jakbyś miała jakieś pytania co do tego to śmiało.
Dalej - żeby mówić o ortogonalności potrzebujemy pojęcia iloczynu skalarnego. Jest to funkcja, która bierze dwa elementy przestrzeni wektorowej i przypisuje im pewną liczbę rzeczywistą. Przestrzeń z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią unitarną. Nie będę wypisywał koniecznych warunków, bo nie o to chodzi, jak będziesz ciekawa to sobie sprawdzisz sama. Wektory (elementy przestrzeni wektorowej) są ortogonalne, gdy ich iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ 0}\).
W każdym razie - weźmy jakieś funkcje \(\displaystyle{ f(x), h (x)}\) i określmy pewien iloczyn skalarny w następujący sposób: \(\displaystyle{ <f , g> = \int_{a}^{b}f(x) g(x) \dd x}\). Weźmy sobie \(\displaystyle{ a = -1, b= 1}\) i na przykład sprawdźmy czy funkcje \(\displaystyle{ f(x) = x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = x^3}\) są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego. Liczymy \(\displaystyle{ <f,g> = \int_{-1}^{1} x \cdot x^3 \dd x = = \frac{1}{4} (1^4 - 1^4) = 0}\) - funkcje są ortogonalne. Ale jakbym wziął inny iloczyn skalarny - na przykład \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) g(x) \dd x}\), to już nie musiałoby tam być. Stąd ważny wniosek - o ortogonalności możemy mówić tylko względem jakiegoś konkretnego iloczynu skalarnego.
Przejdźmy do pojęcia normy. Norma to pewna funkcja, która każdemu elementowi przestrzeni wektorowej przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą. Jest to uogólnienie pojęcia wartości bezwzględnej czy też długości wektora. Skoro mieliśmy zwykłe wektorki, takie jak w liceum i mogliśmy liczyć ich długość, to czemu by nie zrobić tego samego dla naszych nowych, bardziej abstrakcyjnych wektorów, czyli funkcji (wektorów, bo elementów przestrzeni wektorowej). No i normy można określać na wiele sposobów, przytoczę na przykład normę \(\displaystyle{ L_2}\).
\(\displaystyle{ \| f \| = \left[ \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \dd x\right]^{\frac{1}{2}}}\)
W sumie bardzo często w przestrzeniach wektorowych unitarnych określa się normę, jak pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora, samego ze sobą, czyli \(\displaystyle{ \| v \| = \sqrt{<v,v>}}\) i zobacz, że w przypadku normy \(\displaystyle{ L_2}\) tak jest, również w zwyczajnym (naturalnym) iloczynie wektorowym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) (takie zwykłe wektory, jakie na pewno znasz) taka sytuacja ma miejsce. Nie musi tak jednak być, można sobie określić jakieś inne normy (jeśli chcesz, to poczytaj o normach \(\displaystyle{ L_p}\)). Można je też określać dla macierzy i wielu innych obiektów matematycznych.
Dobra, dalej - wektor jest znormalizowany, gdy jego norma wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Co zrobić, żeby z wektora, który ma normę różną od \(\displaystyle{ 1}\) zrobić wektor znormalizowany? A no podzielić go, przez jego normę.
Wektory ortonormalne to takie, które nie dość, że są ortogonalne (iloczyn skalarny równy \(\displaystyle{ 0}\)), to jeszcze są znormalizowane (norma równa \(\displaystyle{ 1}\)).
Ciekawe jest następujące zagadnienie: mamy kilka wektorów, liniowo ze sobą niezależnych. Chcemy je tak poprzekształcać, żeby dalej były liniowo niezależne, ale już chcemy, żeby były ortogonalne albo i nawet ortonormalne. Jak to zrobić? Istnieje algorytm, noszący nazwę ortogonalizacji Grama-Schmidta, który dokładnie to pozwala zrobić, ale to nie koniecznie musi Cię interesować, więc nie będę się rozpisywał.