Wektory liniowo zależne nad ciałem skończonym

[lennyh]

Dane są wektory:
\(\displaystyle{ v_1 = \left( 1\ 1\ 1\ 2\right)}\),
\(\displaystyle{ v_2 = \left(2\ 1\ 1\ 2\right)}\),
\(\displaystyle{ v_3 = \left(0\ 0\ 2\ 1\right)}\),
\(\displaystyle{ v_4 = \left(1\ 2\ 2\ 0\right)}\).

Dla jakiego\(\displaystyle{ n}\) są liniowo zależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^4_n}\)?

[Cytryn]

A jeżeli \(\displaystyle{ n}\) nie jest liczbą pierwszą?

[lennyh]

Skoro mamy ciało skończone, \(\displaystyle{ n = p^m}\) dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i całkowitego \(\displaystyle{ m > 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ p = 2^m}\), to \(\displaystyle{ v_1 = 2^{m-1}v_2 + 0v_3 + 2^{m-1}v_4}\). Co jednak w innym przypadku?

Może mógłbyś dać jeszcze jakieś wskazówki?

[Premislav]

A nie działa czasem taka stara dobra metoda:
- tworzymy macierz, której kolumny są kolejnymi wektorami;
-liczymy jej wyznacznik "normalnie" jak w \(\displaystyle{ \RR}\);
-wynik redukujemy modulo \(\displaystyle{ n}\). Jeżeli wychodzi zero, to mamy liniową zależność, a jeżeli nie, to nie.

[Cytryn]

Skoro mamy ciało skończone, \(\displaystyle{ n = p^m}\) dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i całkowitego \(\displaystyle{ m > 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ p = 2^m}\), to \(\displaystyle{ v_1 = 2^{m-1}v_2 + 0v_3 + 2^{m-1}v_4}\). Co jednak w innym przypadku?

Może mógłbyś dać jeszcze jakieś wskazówki?

Jeżeli \(\displaystyle{ m \ge 2}\), \(\displaystyle{ \mathbb Z_{p^m}}\) nie jest ciałem, bo \(\displaystyle{ p^{m-1} \cdot p = p^m \equiv 0 \mod {p^m}}\).