Wektory liniowo niezależne.

[pawlo392]

Czy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}=\left\langle 1,\sin 2x ,\cos x\right\rangle}\) jest liniowo niezależny?

[Kartezjusz]

Wektory mogą być. Nie jeden wektor. Podaj przestrzeń

[pawlo392]

Wektory mogą być. Nie jeden wektor. Podaj przestrzeń

No o to mi chodziło. Przestrzeń to\(\displaystyle{ R^3}\).

[Kartezjusz]

Pojedyńczy wektor może być zależny jeśli jest zerowy.

[NogaWeza]

Czy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) składowymi wektora mogą być jakimiś funkcjami? Coś mi się nie wydaje. To znaczy mogę się mylić, ale nie spotkałem się z czymś takim.
Czy na pewno nie chodzi tutaj o przestrzeń wektorową funkcji ciągłych nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i sprawdzenie, czy wektory \(\displaystyle{ 1, \sin 2x , \cos x}\) są liniowo niezależne ze sobą?

[Kartezjusz]

Mi też się tak wydaje.

[pawlo392]

Czy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) składowymi wektora mogą być jakimiś funkcjami? Coś mi się nie wydaje. To znaczy mogę się mylić, ale nie spotkałem się z czymś takim.
Czy na pewno nie chodzi tutaj o przestrzeń wektorową funkcji ciągłych nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i sprawdzenie, czy wektory \(\displaystyle{ 1, \sin 2x , \cos x}\) są liniowo niezależne ze sobą?

Masz racje, przepraszam. Zobaczyłem na nie ten przykład co potrzeba. Wcześniej taki przykład : \(\displaystyle{ \left\langle 1, \sin ^2 x, \cos ^2 x\right\rangle}\), zrobiłem w ten sposób, iż z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin ^2 x + cos ^2 x -1=0}\) czyli są liniowo niezależne.

[NogaWeza]

No to chyba skłamałeś.
Wektory (w tym przypadku oczywiście funkcje) są liniowo niezależne, gdy z zerowania się kombinacji liniowej wynika zerowanie się skalarów. Badamy zatem \(\displaystyle{ \alpha \sin^2{x} + \beta \cos^2{x} + \gamma \cdot 1 = 0}\).
No ale przecież dla \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma = -1}\) jest \(\displaystyle{ \sin^2{x} + \cos^2{x} - 1 = 0}\), z jedynki \(\displaystyle{ 1 - 1 = 0}\). Czyli kombinacja liniowa się wyzerowała, ale to wcale nie oznacza, że skalary muszą być zerami. Czyli wektory są liniowo zależne.

Inne podejście: \(\displaystyle{ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1}\), suma dwóch rozpatrywanych wektorów dała w wyniku trzeci wektor - to oznacza, że są zależne.

[pawlo392]

Masz racje, a jak będzie z problemem o który zapytałem na początku?

[NogaWeza]

Tu już ciężej o takie tricki. Moim podejrzeniem jest, że są liniowo niezależne, niemniej nie będę się wygłupiał z dowodzeniem tego. Józef Hoene-Wroński podał doskonały sposób sprawdzania liniowej niezależności funkcji - liczy się wyznacznik pewnej macierzy funkcyjnej.

Okazuje się, że jeśli ten wyznacznik nie jest tożsamościowo równy zeru, to funkcje są liniowo niezależne.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wro%C5%84skian

[a4karo]

Alez to wcale nie jest skomplikowane. Gdyby istniały \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=a\sin 2x+b\cos x+c\dot 1=0}\), to sprawdź co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ f'(x)=f''(x)=0}\)

[pawlo392]

Alez to wcale nie jest skomplikowane. Gdyby istniały \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=a\sin 2x+b\cos x+c\dot 1=0}\), to sprawdź co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ f'(x)=f''(x)=0}\)

Obliczyłem pierwszą pochodną i otrzymałem \(\displaystyle{ 2a \cos 2x +b \sin x}\). Niestety mam problem z drugą pochodną.

[a4karo]

Wystarczy. Wstaw do tego \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=\pi/4}\)

[pawlo392]

Gdy za \(\displaystyle{ x}\) podstawimy zero i do zera przyrównamy. Następnie gdy za \(\displaystyle{ x}\) podstawimy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i przyrównamy do zera o wychodzi nam \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=0}\). Czyli są liniowa niezależne. A jak w ogóle wpaść na ten pomysł z potęgami?

[a4karo]

Jeszcze musisz zauważyć że stąd wynika również że \(\displaystyle{ c=0}\).

O jakie potęgi pytasz?