Witam, mam pytanie odnośnie jednego zadania, ponieważ wolfram pokazuje inaczej.
Mam wyliczyć \(\displaystyle{ e^{At}}\), gdzie \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\).
Rozkładam do postaci \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\) i korzystam z faktu, że \(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1}}\).
Wartości własne, wektory własne itd. mamy \(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}}\)
i teraz czy \(\displaystyle{ e^{Jt}}\) wygląda tak jak myślę?
\(\displaystyle{ e^{Jt}=\begin{bmatrix} e^t&0&0\\0&e^{2t}&e^{2t}\cdot t\\0&0&e^{2t}\end{bmatrix}}\)
e do macierzy
-
mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
e do macierzy
\(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{Jt}P^{-1} =
\begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} e^t&0&0\\0&e^{2t}&e^{2t}\cdot t\\0&0&e^{2t}\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} -1&0&1\\1&-1&0\\0&1&0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} e^{2t}&e^{2t}\cdot t&0\\0&e^{2t}&0\\e^{2t}-e^t&e^{2t}\cdot t&e^t\end{bmatrix}}\)
\begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} e^t&0&0\\0&e^{2t}&e^{2t}\cdot t\\0&0&e^{2t}\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} -1&0&1\\1&-1&0\\0&1&0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} e^{2t}&e^{2t}\cdot t&0\\0&e^{2t}&0\\e^{2t}-e^t&e^{2t}\cdot t&e^t\end{bmatrix}}\)
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
e do macierzy
No i wolframinho przecież dokładnie tak pokazuje
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixexp%5B%7B%7B2,1,0%7D,%7B0,2,0%7D,%7B1,1,1%7D%7Dt%5D-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
e do macierzy
mortan517, mógłbyś opisać krok po kroku jak szukasz macierzy przejścia \(\displaystyle{ P}\)
Ja na razie liczę exponentę macierzy rozwiązując układ równań różniczkowych
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}x=Ax}\)
Niech \(\displaystyle{ \Phi\left( t\right)}\)
będzie macierzą fundamentalną tego układu
\(\displaystyle{ e^{At}=\Phi\left( t\right)\Phi^{-1}\left( 0\right)}\)
ale nie o to chodzi
Ja na razie liczę exponentę macierzy rozwiązując układ równań różniczkowych
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}x=Ax}\)
Niech \(\displaystyle{ \Phi\left( t\right)}\)
będzie macierzą fundamentalną tego układu
\(\displaystyle{ e^{At}=\Phi\left( t\right)\Phi^{-1}\left( 0\right)}\)
ale nie o to chodzi
-
mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
e do macierzy
Wielomian charakterystyczny, wartości własne, wektory własne.
Wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0\\0\\a\end{bmatrix}}\)
Dla wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\) znajdziemy jeden niezależny wektor własny, który rozpoczyna bazę cykliczną. Więc wektory bazy cyklicznej to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}b\\0\\b\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\beta\\b\\\beta\end{bmatrix}}\).
Biorąc \(\displaystyle{ a=b=\beta=1}\) mamy macierz modalną (wcześniej oznaczana przeze mnie jako P i opisywana jako macierz przejścia).
Wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0\\0\\a\end{bmatrix}}\)
Dla wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\) znajdziemy jeden niezależny wektor własny, który rozpoczyna bazę cykliczną. Więc wektory bazy cyklicznej to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}b\\0\\b\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\beta\\b\\\beta\end{bmatrix}}\).
Biorąc \(\displaystyle{ a=b=\beta=1}\) mamy macierz modalną (wcześniej oznaczana przeze mnie jako P i opisywana jako macierz przejścia).