Normy wektorów a iloczyny skalarne

[tomek4321]

Czy można znaleźć taki iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \cdot}\) , taki że \(\displaystyle{ ||x|| _{1}=\sqrt{x \cdot x}}\) (gdzie \(\displaystyle{ ||x|| _{p}= (\sum_{i=1}^{n}|x _{i}|^p)^ \frac{1}{p}}\) )?

Wskazówką chyba jest skorzystanie z nierówności równoległoboku

[szw1710]

Nie piszesz, w jakiej przestrzeni jesteśmy. Można się domyśleć, lecz należy myśli precyzować.

Pokaż, że da się to zrobić tylko dla \(\displaystyle{ p=2}\). Tak, dobrze myślisz o nierówności (a naprawdę równości) równoległoboku. Nierówność implikuje już równość. To treść twierdzenia Jordana-von Neumanna.

[tomek4321]

Jesteśmy w\(\displaystyle{ R^n}\)

Jak pokazać w takim razie, że dla p=1 to nie jest prawda?

[szw1710]

Oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ n>1}\)

Zwyczajnie. Sprawdź że nie zachodzi równanie równoległoboku wybierając odpowiednio wektory.

Zwyczajowo te przestrzenie oznaczamy przez \(\displaystyle{ \ell_p^n}\). \(\displaystyle{ \RR_n}\) to \(\displaystyle{ \ell_2^n}\) czyli mowa o normie euklidesowej.

[tomek4321]

Weźmy wektory \(\displaystyle{ x=(1,1,0,0,...)}\) i \(\displaystyle{ y=(2,1,0,0,...)}\). I teraz podstawiam je do równości równoległoboku?

[szw1710]

Takie albo inne, w zasadzie znajdziesz takich nieskończenie wiele. Podstaw i po sprawie.

Odpowiednio dobierając (inne) wektory możesz łatwo sprawdzić, że jeśli zachodzi równanie równoległoboku w \(\displaystyle{ \ell_p^n}\), to \(\displaystyle{ p=2}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ p=2}\), to równanie to rzeczywiście zachodzi, więc prawdą jest to, co powiedziałem na wstępie.

[tomek4321]

Ale jak wezmę to ma coś takiego:

\(\displaystyle{ (||(3,2,0,0,...||)^2 + (||1,0,0,...||)^2=2(||1,1,0,0,...||^2 + ||2,1,0,0,...||^2)}\)

Czyli dostajemy: \(\displaystyle{ 5^2+1^2=2(2^2+3^2)}\)
\(\displaystyle{ 25+1=2(4+9)

26=26}\)
Wszystko się zgadza,a nie powinno. W czym problem?

[szw1710]

Masz tu \(\displaystyle{ p=2}\), więc równość zawsze zachodzi.

Drobna podpowiedź. Niech \(\displaystyle{ x=e_1=(1,0,0,\dots,0)}\). Weź drugi wektor \(\displaystyle{ y}\) (już samodzielnie go zbuduj) i pokaż to, o czym mówię. To naprawdę łatwe.

[tomek4321]

Przepraszam bardzo, ale średnio rozumiem.
Dla \(\displaystyle{ p=1}\), \(\displaystyle{ \left( ||x|| _{1} \right) ^2= \left( \sum_{i=1}^{n} |x _{i} | \right) ^2}\) Czy coś źle rozumiem?

Mógłbyś mi to rozpisać?

[AiDi]

Przeczytaj jeszcze raz PW, konkretnie punkt 2.