Wyznaczyć bazę B i wymiar przestrzeni V

[Zielony-Mis]

Cześć mam problem z następującym zadaniem

Wyznaczyć bazę \(\displaystyle{ B}\) i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V = \left\{ p(x) \in \RR_{3} [x] : 2p'(x) = xp''(x) + p(1)\right\}}\)a następnie znaleźć wektor współrzędnych wektora \(\displaystyle{ q(x) = 3x^{3} + x - 2}\) w znalezionej bazie \(\displaystyle{ B}\).

wyszedłem tak
\(\displaystyle{ p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d \\
p'(x)=3ax^{2}+2bx+c \\
p''(x)=6ax+2b}\)

z tego wychodzi mi
\(\displaystyle{ 6ax^{2}+4bx+2c=6ax_{2}+2bx+a+b+c+d}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2bx-a-b+c-d=0 \\
x(2b)+(-a-b+c-d)=0}\)

w związku z czym mam macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right]}\)


po przemonożeniu wiersza pierwszego przez \(\displaystyle{ 2}\) a drugiego przez \(\displaystyle{ -1}\), a następnie po odjęcie od wiersza \(\displaystyle{ 2}\) pierwsz \(\displaystyle{ 1}\), otrzymuje baze
\(\displaystyle{ B=\{(0,-1),(2,1)\}}\)

Wydaje mi się niemożliwe wyliczenie współrzędnych tego wektora w owej bazie

mógłby więc ktoś to zweryfikować i wychwycić mój ewentualny błąd w rozumowaniu? Za wszelką pomoc będę bardzo wdzięczny

[Premislav]

z tego wychodzi mi
\(\displaystyle{ 6ax^{2}+4bx+2c=6ax_{2}+2bx+a+b+c+d}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2bx-a-b+c-d=0}\)

Do tego momentu jest w porządku, nie rozumiem, co robisz dalej. To jest równość wielomianów, więc
przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach, czyli
\(\displaystyle{ 2b=0 \wedge -a-b+c-d=0}\),
a zatem \(\displaystyle{ b=0 \wedge c=a+d}\)

[szw1710]

Zielony-Mis, początkowe podejście masz dobre. Jednak wniosek kiepski. Wektory bazowe mają po cztery współrzędne. Przecież wielomian rzędu \(\displaystyle{ 3}\) ma cztery współczynniki.

[Zielony-Mis]

z tego wychodzi mi
\(\displaystyle{ 6ax^{2}+4bx+2c=6ax_{2}+2bx+a+b+c+d}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2bx-a-b+c-d=0}\)

Do tego momentu jest w porządku, nie rozumiem, co robisz dalej. To jest równość wielomianów, więc
przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach, czyli
\(\displaystyle{ 2b=0 \wedge -a-b+c-d=0}\),
a zatem \(\displaystyle{ b=0 \wedge c=a+d}\)

czyli innymi słowy bazą w takim wypadku będzie \(\displaystyle{ \{(1,0,1,0), (0,0,1,1)\}}\)?

@EDIT
szw1710, tak też myślałem, dlatego też owa baza wydawała mi się zła i nie bardzo miałem w takim wypadku pomysł jak to ugryźć, chociaż ze względu na to, iż później nie mamy już x'ów z 2 i 3 potęgą powinienem był napisać \(\displaystyle{ (0,0,0,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,0,2,1)}\) choć wiem, że i to nie jest prawidłową odpowiedzią

[Premislav]

Tak, to jest dobra baza (jedna z wielu).

[Zielony-Mis]

Dobrze, dziękuje Ci bardzo, teraz zastanawiam się nad dalszą częścią zadania, gdy podstawię owe bazy do równania
\(\displaystyle{ X \cdot (1,0,1,0) + Y(0,0,1,1)=(3,0,1,-2)}\)

otrzymam współrzędne wektora w bazie równe \(\displaystyle{ (3,-2)}\), jednakże to iż mam tutaj jedynie 2 współrzędne powoduje, iż znów moje rozumowanie jest błędne

[Premislav]

Nieprawda, ze błędne, to jest właśnie poprawne rozwiązanie. Chodziło przecież o to, że
w naszym utożsamieniu wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\) z wektorami mamy cztery współrzędne, tj. np.
\(\displaystyle{ x^3=(1,0,0,0)}\). To nie znaczy, że baza przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) musi mieć cztery elementy.
Nie ma tu żadnego błędu, bo przechodzisz od zapisu wielomianu \(\displaystyle{ 3x^3+x-2}\) w bazie standardowej \(\displaystyle{ (x^3,x^2,x,1)}\) do zapisu w zupełnie nowej bazie - współrzędnych wówczas będzie tyle, ile elementów tejże innej bazy.

[szw1710]

Przestrzeń jest dwuwymiarowa. OK. Ale lepiej zapisać \(\displaystyle{ q=3u-2v}\), gdzie \(\displaystyle{ u,v}\) są wielomianami bazowymi.

[Zielony-Mis]

Dziękuje pięknie za wyjaśnienie