Struktura rozwiązań układu równań liniowych

[dzejkobjj]

Oto pełna treść zadania:
Rozwiązać układ równań używając metody Gaussa-Jordana:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y-z-t=1\\x+y+z+3t=2\\3x+5y-z+t=4 \end{array}}\)
Wynik przedstawić w postaci RSUN+ROUJ.

Układ rozwiązałem bez problemu:

\(\displaystyle{ z, t - parametry\\
y=-1+2z+4t\\
x=3-3z-7t}\)

Nie bardzo wiem o co chodzi z ostatnim zdaniem i postacią RSUN+ROUJ. Pogrzebałem w wykładach z algebry i znalazłem tylko taką informację na ten temat:

Struktura rozwiązań układu równań liniowych
Jeżeli układ \(\displaystyle{ Ax =}\)b ma co najmniej jedno rozwiązanie, to ma ono postać:
\(\displaystyle{ x = ROUJ + RSUN = x_o + x_s}\)
- ROUJ = Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego (\(\displaystyle{ Ax = 0}\))
- RSUN = Rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego (\(\displaystyle{ Ax = b}\))
-\(\displaystyle{ x_o}\) zawsze istnieje, bo \(\displaystyle{ x_o = 0}\) jest zawsze rozwiązaniem \(\displaystyle{ Ax = 0}\)

No i jak mam być szczery nie bardzo mi to pomaga. Może ktoś bardziej kumaty ode mnie rozumie o co chodzi i wie jak przedstawić rozwiązanie w postaci jaką sobie wykładowcy życzą

[szw1710]

Może tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-3 & -7\\ 2 & 4\\ 1 & 0\\ 0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}3\\ -1\\ 0\\ 0\\\end{bmatrix}}\)

Pierwszy składnik to ROUJ, a drugi to RSUN.