Wzór symetrii

[marcin192]

Witam serdecznie , z racji ze w piątek mam poprawe z matematyki dyskretnej a jest 1 rodzaj zadań którego kompletnie nie umiem ruszyć bardzo prosze o wytłumaczenie jak rozwiązac nastepujace zadanie :

Wyznacz wzór symetrii prostopadłej przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) wzgledem plaszczyzny o rownaniu \(\displaystyle{ X +Y-Z = 0}\)
Bardzo prosze o pomoc....

[janusz47]

1.
Wprowadzamy dwa punkty \(\displaystyle{ P(x, y, z), \ \ P'(x', y', z')}\) symetryczne względem danej płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi.}\)
2.
Obliczamy współrzędne punktu środkowego \(\displaystyle{ O\in \pi}\) odcinka \(\displaystyle{ \overline{PP'}.}\)
3.
Wybieramy dowolny punkt \(\displaystyle{ D\in \pi.}\)
4.
Tworzymy układ trzech równań liniowych o niewiadomych \(\displaystyle{ x' , y', z'}\) na podstawie następujących warunków:

w1. \(\displaystyle{ O \in \pi.}\)

w2. \(\displaystyle{ \vec{PP'}\parallel [ 1, 1, -2].}\)

w3. \(\displaystyle{ \vec{PP'} \perp \vec{OD}.}\)

5.
Rozwiązujemy układ równań znajdując niewiadome \(\displaystyle{ x' , y', z'}\).

6.
Zapisujemy macierz przekształcenia liniowego(symetrii względem danej płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi )}\).

[kerajs]

Ad 6.
Może to być także układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'= \frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} z \\ y'= \frac{-2}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} z \\ x'= \frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} z \end{cases}}\)

[marcin192]

dzieki panowie