odległość prostej od początku układu

[karakuku]

Literówka

Powinno być -2, bo \(\displaystyle{ z-y=2}\) ale już \(\displaystyle{ y-z=-2}\)

[marpus]

Po wielkich mordęgach w końcu zrozumiałem
Wielkie dzięki za pomoc a przede wszystkim za cierpliwość do mnie

[kerajs]

Inaczej:    

b)
Jeżeli P leży na prostej \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) to istnieje takie ,,k'' że \(\displaystyle{ \vec{x_1P}=k \vec{x_1x_2}}\)

\(\displaystyle{ \left[ -2,0,-1\right]=k\left[-1,-1,-1 \right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2=-k \\ 0=-k \\ -1=-k\end{cases}}\)
Układ sprzeczny więc P na prostej nie leży.

c)
Odległość punktu X od prostej L to promień sfery o środku w X i stycznej do L
Równanie sfery w początku układu:\(\displaystyle{ r^2=x^2+y^2+z^2}\)Wstawiając punkt z równania parametrycznego prostej mam:
\(\displaystyle{ r^2=(1+t)^2+(t)^2+(2+t)^2\\
r^2=3t^2+6t+5\\
r^2=3(t+1)^2+2}\)
Styczność (jeden punkt wspólny, czyli tylko jedno t) jest dla \(\displaystyle{ t=-1}\), więc \(\displaystyle{ r^2=2 \Rightarrow r= \sqrt{2}}\)