Postać rzutu ortogonalnego

[akzcejam]

Niech \(\displaystyle{ X = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\1&1\end{array}\right]}\).
Podaj postać rzutu ortogonalnego na przestrzeń generowaną przez kolumny macierzy X.

[AloneAngel]

Możesz znaleźć bazę ortonormalną \(\displaystyle{ \{ \omega_1, \ \omega_2 \}}\) i skorzystać ze wzoru na rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ x}\) na tę podprzestrzeń dany wzorem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2} \left\langle \omega_i \ ; \ x\right\rangle \omega_i}\),
gdzie \(\displaystyle{ \left\langle \right\rangle}\) - iloczyn skalarny.

[akzcejam]

Niestety nie znam, jak znaleźć bazę ortonormalną też nie mam pojęcia...

[AloneAngel]

Bazę ortonormalną znajdziesz stosując algorytm Grama-Schmidta.

[akzcejam]

Mam przyjąć za wektory \(\displaystyle{ v_{1} =}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ v_{2} =}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\1\end{array}\right]}\) ?

[AloneAngel]

Tak, to są Twoje dwa początkowe wektory. Teraz musisz je zortonormalizować tym algorytmem.

[akzcejam]

Wyszło mi, że nową bazę stanowią wektory: \(\displaystyle{ u_{1} =}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ u_{2} =}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} - \frac{1}{2} \\1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]}\). Dobrze?

[AloneAngel]

One są ortogonalne - teraz musisz je podzielić przez ich długość, żeby miały długość jeden. Wtedy będzie okej.

[akzcejam]

Mógłbyś mi napisać jak to zrobić, bo nie za bardzo wiem o co chodzi. Po tym dzieleniu to będzie koniec zadania, rzut ortogonalny?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \omega_1 = \frac{[1, \ 0, \ 1]}{ | [1, \ 0, \ 1] |} = \frac{[1, \ 0, \ 1]}{\sqrt{2}} = [\frac{\sqrt{2}}{2}, \ 0, \ \frac{\sqrt{2}}{2}]}\)
To na dole to jest długość wektora - sprawdź jak się je liczy. To samo zrób dla \(\displaystyle{ \omega_2}\).

Wtedy biorąc dowolny \(\displaystyle{ x=(x_1, x_2, x_3) \in \RR^3}\) wiesz, że jego rzut ortogonalny na tę podprzestrzeń wyraża się wzorem tym co podałem w pierwszej wiadomości.

[akzcejam]

\(\displaystyle{ \omega_2 = \frac{1}{ \sqrt{3} } \left[ -1, 2, 1 \right]}\) ? Chyba coś nie tak.