Metoda iteracji prostej dana jest zależnością rekurencyjną: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{(0)} \\ x^{(n)}=x^{(n-1)} - J^{-1}(x^{(0)}) \cdot f(x^{n-1}) \ \ n>0\end{cases}}\)
Przede wszystko wszystko przenosisz na jedną stronę: \(\displaystyle{ \begin{cases} {x_{1}}^{2} + 4x_{2}^{2}-4=0 \\ \ x_{1}^{2} + x_{2} = 0 \end{cases}}\)
No i teraz \(\displaystyle{ f}\) to następująca funkcja: \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\left(\begin{matrix} {x_{1}}^{2} + 4x_{2}^{2} - 4 \\ x_{1}^{2} + x_{2} \end{matrix}\right)}\)
Zaś \(\displaystyle{ J^{-1}(x^{(n-1)})}\) to macierz odwrotna do jakobianu zbudowanego na funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x^{(0)}}\).
Dziękuję, udało mi się opanować opisaną w poprzednim poście metodę.
Proszę też o pomoc w rozwiązaniu tego układu (choć liniowego również), przy użyciu metody gradientu prostego. Nie mogę znaleźć w sieci przykładu dla tej metody i układu równań.
Ja nie znam tej metody, ale bez problemu znalazłem odpowiedź ():
Metoda gradientu prostego jest podstawową, choć nie najbardziej efektywną metodą
poszukiwania ekstremum. Jej algorytm przy poszukiwaniu minimum funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest następujący:
1. Przyjąć punkt startowy \(\displaystyle{ x_0}\), długość kroku \(\displaystyle{ e}\), współczynnik redukcji kroku \(\displaystyle{ a<1}\), dokładność wyznaczenia ekstremum (zerowania się gradientu) \(\displaystyle{ \espilon}\). Przyjąć \(\displaystyle{ i=0}\).
2. Obliczyć w punkcie \(\displaystyle{ x_i}\) wartość funkcji celu \(\displaystyle{ f(x_i)}\) i jej gradientu \(\displaystyle{ g(x_i).}\)
3. Wyznaczyć kierunek poszukiwań przeciwny do kierunku gradientu \(\displaystyle{ d=-g(x_i).}\)
4.Wykonać z punktu \(\displaystyle{ x_i}\) krok w wyznaczonym kierunku \(\displaystyle{ d}\) o długości \(\displaystyle{ e}\) przechodząc do punktu \(\displaystyle{ x_{i+1}= x_i + ed}\) czyli do punktu \(\displaystyle{ [x_i - eg(x_i)].}\)
5. Obliczyć wartość funkcji celu i jej gradientu w nowym punkcie.
6.Jeśli \(\displaystyle{ g^Tg< \epsilon,}\) zakończyć postępowanie. W przeciwnym razie przejść do punktu 6.
7. Jeśli \(\displaystyle{ f(x_{i+1})< f(x_i),}\)powtórzyć postępowanie dla wyznaczonego punktu \(\displaystyle{ x_i+1}\), czyli przyjąć \(\displaystyle{ i+1}\), przejść do punktu 2.
8. W przypadku przeciwnym cofnąć się do poprzedniego punktu i zmniejszyć krok, czyli przyjąć \(\displaystyle{ e=ae}\)i przejść do punktu 4.
