Tor ruchu, konwersja równań parametrycznych do 1 równania.

[chudek123]

Witam, jak sobie radzić z takimi przykładami przy wyznaczaniu toru ruchu, mając podane równania parametryczne?
1.
\(\displaystyle{ x(t)=\cos (kt)+1 \\
y(t)=\sin (2kt)}\)

2.
\(\displaystyle{ x(t)=2\sin (kt)\cos (kt) \\
y(t)=2-2\sin (kt)}\)

W obu przypadkach \(\displaystyle{ k \in \RR}\).
Pozdrawiam

[sebnorth]

przy oznaczeniach \(\displaystyle{ c_k = \cos kt, s_k = \sin kt}\) mamy:

\(\displaystyle{ c_{2k} = 2c_k^2 - 1}\)

\(\displaystyle{ x-1 = c_k}\)

\(\displaystyle{ 2(x-1)^2-1 = 2c_k^2 - 1 = c_{2k}}\)

następnie:

\(\displaystyle{ c_{2k}^2 + s_{2k}^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ (2(x-1)^2-1 )^2 + y^2 = 1}\)