Witam.
Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ e^A= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!}}\) zawsze istnieje, czyli równoważnie - skąd wiadomo, że ten szereg zawsze jest zbieżny?
Zacznę może nieco wcześniej - czego potrzebujemy, żeby mówić o zbieżności szeregu? Potrzeba nam na przykład tylko przestrzeni unormowanych, czy może musimy sięgnąć aż do przestrzeni Banacha?
Przeczytałem, że przestrzeń macierzy z normą macierzową (pytanie - czy każdą?) jest rzeczywiście przestrzenią Banacha, a w tej z kolei jeśli szereg norm jest zbieżny, to sam szereg też jest zbieżny. Ja tak intuicyjnie sobie to tłumaczę, że to jest analogicznie jak ze zbieżnością bezwzględną w szeregach rzeczywistych. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z normą wartości bezwzględnej jest też przecież przestrzenią Banacha.
Teraz wydedukowałem, że jakkolwiek byśmy nie określili normy dla macierzy, to z definicji normy zawsze \(\displaystyle{ \| A\| \ge 0}\), a skoro szereg potęgowy \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ n!}}\) jest zbieżny na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to wstawiając do niego \(\displaystyle{ \| A \|}\) mamy zagwarantowaną zbieżność tego szeregu norm, a więc ten pierwotny szereg tych macierzy też jest zbieżny. Można w ten sposób to uzasadnić?
Będę wdzięczny za kilka słów komentarza co do tego. Do matematyki nigdy nie podchodziłem bardzo formalnie i nie zagłębiałem się w podobne tematy, ale chciałbym choć w części zrozumieć dlaczego jest tak jak jest.
Dziękuje z góry za wszelką pomoc.
PS Wstawiłem to do algebry liniowej, bo mamy do czynienia z macierzami. Nie śmiałem tego tematu umieścić w dziale analiza funkcjonalna, żeby się nie błaźnić
Eksponenta macierzy, pytania dot. teorii.
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Eksponenta macierzy, pytania dot. teorii.
Jest ok, należy pamiętać że w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej wszystkie normy są równoważne i dlatego Twój argument działa.
Wystarczy przestrzeń unormowana. W przestrzeni Banacha (a więc w unormowanej przestrzeni liniowej gdzie metryka zadana przez normę tworzy przestrzeń zupełną) każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny jednak ten fakt nie jest tu przydatny.NogaWeza pisze:Potrzeba nam na przykład tylko przestrzeni unormowanych, czy może musimy sięgnąć aż do przestrzeni Banacha?
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Eksponenta macierzy, pytania dot. teorii.
O, nie znałem tego faktu o rownoważności norm. Czyli podsumowując - ten szereg jest zbieżny, bo szereg norm jest zbieżny i jest tak, bo jesteśmy w przestrzeni unormowanej, zgadza się?
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Eksponenta macierzy, pytania dot. teorii.
Tak Dokładnie musisz znaleźć jakąś normę w której zbiega, możesz w tym celu poczytać o normie operatorowej (supremum wartości operatora na kuli jednostkowej).