Dana jest prosta \(\displaystyle{ L}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A\left( 2,1,1\right),B\left( 3,1,-1\right)}\) oraz punkt \(\displaystyle{ O\left( 0,0,0\right)}\).
Punkt \(\displaystyle{ P \in L}\) leżący najbliżej punktu \(\displaystyle{ O}\).
Wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ OP=OB _{pv}}\) bezpośrednio w oparciu o tożsamość
\(\displaystyle{ \frac{v'v' ^{T} }{v ^{T}v }+ \frac{vv ^{T} }{v ^{T}v }=I}\) gdzie \(\displaystyle{ v'=\left[ \begin{array}{ccc}0&-v _{3}&v _{2}\\v _{3}&0&-v _{1}\\-v _{2}&v _{1}&0\end{array} \right]}\)
opisująca rozkład dowolnego wektora na składowe: prostopadłą i równoległą do wektora \(\displaystyle{ v}\).
\(\displaystyle{ OB _{pv}}\)-ten wektor to wektor prostopadły do wektora \(\displaystyle{ v}\).
W oparciu o tożsamość
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
W oparciu o tożsamość
Sądzę, że bardziej użyteczny zapis tożsamości będzie zawierał wyznacznik z \(\displaystyle{ v ^{T} v}\) dający liczbę w mianowniku:
\(\displaystyle{ \frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }+ \frac{vv ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }=I}\)
gdzie \(\displaystyle{ v'=\left[ \begin{array}{ccc}0&-v _{3}&v _{2}\\v _{3}&0&-v _{1}\\-v _{2}&v _{1}&0\end{array} \right]}\)
oraz \(\displaystyle{ v ^{T} =\left[ v_1,v_2,v_3\right]}\)
Dla\(\displaystyle{ v^{T}= \vec{AB}=\left[ 1,0,-2\right]}\)mam:
1)
\(\displaystyle{ v'=\left[ \begin{array}{ccc}0&-v _{3}&v _{2}\\v _{3}&0&-v _{1}\\-v _{2}&v _{1}&0\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc}0&2&0\\-2&0&-1}\\0&1&0\end{array} \right]}\)
Mnożenie macierzy wykonaj samodzielnie. Poniżej są podane wyniki końcowe.
2)
\(\displaystyle{ v'v' ^{T}=\left[ \begin{array}{ccc}4&0&2\\0&5&0}\\2&0&1\end{array} \right]}\)
3)
\(\displaystyle{ vv ^{T}= \left[ \begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&0&0}\\-2&0&4\end{array} \right]}\)
4)
\(\displaystyle{ \left| v ^{T} v \right| =5}\)
5)
\(\displaystyle{ I=\frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }+ \frac{vv ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }= \frac{\left[ \begin{array}{ccc}4&0&2\\0&5&0\\2&0&1\end{array} \right]}{5}+ \frac{\left[ \begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{array} \right]}{5}=...}\)
6)
\(\displaystyle{ \vec{OB}=\left[ 3,1,-1\right]}\)
7)
\(\displaystyle{ \vec{OL}= \vec{OB} \cdot \frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }=\left[ 3,1,-1\right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc} \frac{4}{5} &0& \frac{2}{5}\\0&1&0\\ \frac{2}{5}&0& \frac{1}{5}\end{array} \right] =\left[ 2,1,1\right]}\)
8)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_L-x_O=2 \\ y_L-y_O=1 \\ z_L-z_O=1 \end{cases} \Rightarrow L=(2,1,1)=A}\)
PS
Dla sprawdzenia wyniku proponuję znaleźć płaszczyznę prostopadłą do prostej przechodzącej przez punkty A i B, zawierającą punkt O. Punkt przebicia tej płaszczyzny przez prostą AB to szukany punkt L.
\(\displaystyle{ \frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }+ \frac{vv ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }=I}\)
gdzie \(\displaystyle{ v'=\left[ \begin{array}{ccc}0&-v _{3}&v _{2}\\v _{3}&0&-v _{1}\\-v _{2}&v _{1}&0\end{array} \right]}\)
oraz \(\displaystyle{ v ^{T} =\left[ v_1,v_2,v_3\right]}\)
Dla\(\displaystyle{ v^{T}= \vec{AB}=\left[ 1,0,-2\right]}\)mam:
1)
\(\displaystyle{ v'=\left[ \begin{array}{ccc}0&-v _{3}&v _{2}\\v _{3}&0&-v _{1}\\-v _{2}&v _{1}&0\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc}0&2&0\\-2&0&-1}\\0&1&0\end{array} \right]}\)
Mnożenie macierzy wykonaj samodzielnie. Poniżej są podane wyniki końcowe.
2)
\(\displaystyle{ v'v' ^{T}=\left[ \begin{array}{ccc}4&0&2\\0&5&0}\\2&0&1\end{array} \right]}\)
3)
\(\displaystyle{ vv ^{T}= \left[ \begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&0&0}\\-2&0&4\end{array} \right]}\)
4)
\(\displaystyle{ \left| v ^{T} v \right| =5}\)
5)
\(\displaystyle{ I=\frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }+ \frac{vv ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }= \frac{\left[ \begin{array}{ccc}4&0&2\\0&5&0\\2&0&1\end{array} \right]}{5}+ \frac{\left[ \begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{array} \right]}{5}=...}\)
6)
\(\displaystyle{ \vec{OB}=\left[ 3,1,-1\right]}\)
7)
\(\displaystyle{ \vec{OL}= \vec{OB} \cdot \frac{v'v' ^{T} }{\left| v ^{T} v \right| }=\left[ 3,1,-1\right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc} \frac{4}{5} &0& \frac{2}{5}\\0&1&0\\ \frac{2}{5}&0& \frac{1}{5}\end{array} \right] =\left[ 2,1,1\right]}\)
8)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_L-x_O=2 \\ y_L-y_O=1 \\ z_L-z_O=1 \end{cases} \Rightarrow L=(2,1,1)=A}\)
PS
Dla sprawdzenia wyniku proponuję znaleźć płaszczyznę prostopadłą do prostej przechodzącej przez punkty A i B, zawierającą punkt O. Punkt przebicia tej płaszczyzny przez prostą AB to szukany punkt L.