Płaszczyzna zawiera dwa punkty

[max123321]

Płaszczyzna \(\displaystyle{ S}\) zawiera dwa punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,-1,1\right) ,B\left( 2,1,2\right)}\) oraz prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ v ^{T}=\left[ 1,0,2\right]}\). Prosta \(\displaystyle{ L}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ C\left( 2,0,1\right),D\left( 3,3,5\right)}\).


Znaleźć punkt \(\displaystyle{ E \in S}\), położony najbliżej punktu \(\displaystyle{ D}\), w oparciu o relacje:

\(\displaystyle{ E=B+BE}\) oraz \(\displaystyle{ BE=BD-BD _{||n}}\)

[kerajs]

Problemem w tym zadaniu, jak i pozostałych Twoich ostatnich tematach, jest użyta konwencja
zapisu i/lub brak dodatkowego opisu. Przykładowo, gdybyś zamiast:

\(\displaystyle{ BE=BD-BD_{||n}}\)

napisał:

\(\displaystyle{ \vec{BE} = \vec{BD}- \vec{BD_{||}_{\vec{_n}} }}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec{BD_{||}_{\vec{_n}} }}}\) to składowa wektora BD równoległa do wektora normalnego \(\displaystyle{ \vec{n}}\) płaszczyzny S

to pewnie szybko dostałbyś odpowiedź.


Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v ^{T} }=\left[1,2,1 \right] \times\left[ 1,0,2\right]=\left[ 4,-1,-2\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}=\left[ 1,2,3\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{BD_{||}_{\vec{_n}} }}= \vec{BD} \cdot \left| \cos \angle \left\{ \vec{BD} , \vec{n} \right\} \right| = \vec{BD} \cdot \left| \frac{\vec{BD}\circ\vec{n}}{\left| \vec{BD}\right|\cdot \left| \vec{n}\right|} \right|}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD_{||}_{\vec{_n}} }}=\left[ 1,2,3\right] \cdot \left| \frac{4-2-6}{ \sqrt{14} \sqrt{21} } \right| =\left[ 1,2,3\right] \cdot \frac{2 \sqrt{6} }{21}=\left[ \frac{2 \sqrt{6} }{21},\frac{4 \sqrt{6} }{21},\frac{6 \sqrt{6} }{21}\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{BE} = \vec{BD}- \vec{BD_{||}_{\vec{_n}} }}=\left[ 1,2,3\right] -\left[ \frac{2 \sqrt{6} }{21},\frac{4 \sqrt{6} }{21},\frac{6 \sqrt{6} }{21}\right] =\left[ 1-\frac{2 \sqrt{6} }{21},2-\frac{4 \sqrt{6} }{21},3-\frac{6 \sqrt{6} }{21}\right] \\
\left[x_E-2,y_E-1,z_E-2 \right]= \left[ 1-\frac{2 \sqrt{6} }{21},2-\frac{4 \sqrt{6} }{21},3-\frac{6 \sqrt{6} }{21}\right] \\
E=\left( 3-\frac{2 \sqrt{6} }{21},3-\frac{4 \sqrt{6} }{21},5-\frac{6 \sqrt{6} }{21}\right)}\)

Dla sprawdzenia wyniku, sugeruję znaleźć punkt E jako punkt przebicia płaszczyzny S prostą do niej prostopadłą i zawierającą punkt D.

[max123321]

No tak, ale każdy może dopytać jak są wątpliwości. Rozwiązanie jest dobre, sprawdzałem tą samą metodą i to samo wyszło. A jak na przykład zrobić oznaczenie dla składowej prostopadłej wektora? A jak zrobić pozostałe moje zadania?

[kerajs]

No tak, ale każdy może dopytać jak są wątpliwości.

Mnie niezrozumiały zapis raczej odstręcza, niż zachęca do drążenia tematu.

A jak na przykład zrobić oznaczenie dla składowej prostopadłej wektora?

Już to powyżej pokazałem. Zamiast \(\displaystyle{ \parallel}\) uzyj \(\displaystyle{ \perp}\).
Zawsze możesz dopisać komentarz czym z zadaniu jest np: AB

A jak zrobić pozostałe moje zadania?

Podopisuj komentarze objaśniające użyte tam oznaczenia i pokaż co sam już zrobiłeś.