Płaszczyzna, KerT, ImT, macierz przekształceń

[reverse93]

Hejo
Mam drobny problem z zadaniem podanym poniżej. Czy ktoś mógłby dopomóc chociaż w rozwiązaniu początku zadania ?

Niech \(\displaystyle{ T: \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\), oznacza rzut prostopadły na płaszczyznę \(\displaystyle{ x-y+z=0}\). Znaleźć bazy \(\displaystyle{ \ker T}\) i \(\displaystyle{ \Im T}\), macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) oraz obraz wektora (punktu) \(\displaystyle{ V=(4;-2;3)}\)

[Peter Zof]

Najpierw znajdź macierz tego przekształcenia, później będziemy walczyć dalej.

[sebnorth]

jest taki wzór na macierz rzutu: \(\displaystyle{ A(A^{T}A)^{-1}A^{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to będzie macierz zbudowana z kolumn wektorów generujących płaszczyznę zadaną równaniem, u nas np:

\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0\\1& 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]}\)

wówczas \(\displaystyle{ A(A^{T}A)^{-1}A^{T} = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]}\)

[reverse93]

Hmm.. tutaj mam mały problem, ale.. próbowałam wykorzystać parametryzację prostej. Mianowicie znając współrzędne wektora normalnego \(\displaystyle{ \vec{n} = [1,-1,1]}\) i zakładając sobie punkt \(\displaystyle{ P(a,b,c)}\) mogłabym wtedy uzyskać
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = a + 1 *t \\ y = b - 1*t \\z = c + 1 *t \\ x - y +z =0 \end{cases}}\)
W sumie na podstawie uzyskanego układu równań mogłabym uzyskać taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&1&|a&\\0&1&0&-1&|b&\\0&0&1&1&|c&\\1&-1&1&0&|0&\end{array} \right]}\)

W sumie uzyskuje coś takiego. Czy takie rozwiązanie jest dobre ? Co do wzoru na macierz rzutu niestety pierwszy raz widzę :< .