Hej, mam problem z ruszeniem zadania. Radzę sobie z wyznaczaniem bazy w 'standardowych' wypadkach, tutaj jednak polegam. Jest to zadanie z kolokwium, niestety nie mam odpowiedzi.
Treść:
Wyznaczyć bazę B i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V = \left\{ p(x) \in \RR_{3} [x] : 2p'(x) = xp''(x) + p(1)\right\}}\) a następnie znaleźć wektor współrzędnych wektora \(\displaystyle{ q(x) = 3x^{3} + x - 2}\) w znalezionej bazie B.
To cała treść. Domyślam się, że p(x) jest wielomianem, i ze względu na wymiar R ma postać:
\(\displaystyle{ p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)
\(\displaystyle{ p'(x)=3ax^{2}+2bx+c}\)
\(\displaystyle{ p''(x)=6ax+2b}\)
więc równanie \(\displaystyle{ 2p'(x) = xp''(x) + p(1)}\) sprowadza się do
\(\displaystyle{ 6ax^{2}+4bx+2c=6ax_{2}+2bx+a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ -2bx+a+b-c+d=0}\)
I co dalej zrobić? Będę wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki
Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni V
-
bartmarg
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 7 wrz 2016, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni V
Czyli:
\(\displaystyle{ 2p'(x)=xp''(x)+p(1)}\)
\(\displaystyle{ p'(x)= \frac{xp''(x)+p(1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ p(x)=\int_{}^{}\frac{xp''(x)+p(1)}{2}dx}\)
\(\displaystyle{ p(x)=\frac{2ax^{3}+bx^{2}+ax+bx+cx+dx}{2}}\)
\(\displaystyle{ p(x)=a(x^{3}+\frac{x}{2})+b(\frac{x^{2}+x}{2})+c(\frac{x}{2})+d(\frac{x}{2})}\)
I od tych wektorów (rozpinających przestrzeń) wystarczy, że sprawdzę ich liniową niezależność i mam bazę?
Edycja:
Poprawiłeś mi na dolne indeksy, jednak jestem całkiem pewien że chodzi o potęgi (w treści, jak i w zadaniu)
\(\displaystyle{ 2p'(x)=xp''(x)+p(1)}\)
\(\displaystyle{ p'(x)= \frac{xp''(x)+p(1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ p(x)=\int_{}^{}\frac{xp''(x)+p(1)}{2}dx}\)
\(\displaystyle{ p(x)=\frac{2ax^{3}+bx^{2}+ax+bx+cx+dx}{2}}\)
\(\displaystyle{ p(x)=a(x^{3}+\frac{x}{2})+b(\frac{x^{2}+x}{2})+c(\frac{x}{2})+d(\frac{x}{2})}\)
I od tych wektorów (rozpinających przestrzeń) wystarczy, że sprawdzę ich liniową niezależność i mam bazę?
Edycja:
Poprawiłeś mi na dolne indeksy, jednak jestem całkiem pewien że chodzi o potęgi (w treści, jak i w zadaniu)
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni V
Ojojoj... całki niee.
funkcję \(\displaystyle{ p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) możemy interpretować jako wektor \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right)}\)
warunek z pochodnymi jak sam ustaliłeś tworzy nam układ równań (patrząc co stoi przy kolejnych stopniach wielomianu). rozpatrz je jak w "standardowych" przestrzeniach. uzależnij jedną zmienną i popatrz jakiej postaci są wszystkie wektory z przestrzeni.
bartmarg,
funkcję \(\displaystyle{ p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) możemy interpretować jako wektor \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right)}\)
warunek z pochodnymi jak sam ustaliłeś tworzy nam układ równań (patrząc co stoi przy kolejnych stopniach wielomianu). rozpatrz je jak w "standardowych" przestrzeniach. uzależnij jedną zmienną i popatrz jakiej postaci są wszystkie wektory z przestrzeni.
bartmarg,
Ukryta treść: