Iloczyn skalarny, rzut - intuicje

[matinf]

Cześć,
Zastanawiam się nad intuicją rzutu ortogonalnego. Mianowicie, czy to jest jakoś tak, że jak rzutujemy na podprzestrzeń mniejszego wymiaru to ten wektor się skraca ? Jakieś współrzędne się zerują ? A reszta współrzędnych wektora zostaje bez zmian ? A co jeśli rzucimy na podprzestrzeń większego wymiaru.

[a4karo]

Odwzorowanie liniowe (a takim jest rzut) raczej nie zwiększa wymiaru

[matinf]

Ale czy nie możesz rzucić na większego wymiaru podprzestrzeń ? A inne pytania ?

[a4karo]

Rzut \(\displaystyle{ P:X\to X}\) to odwzorowanie liniowe przestrzeni w siebie, które spełnia warunek \(\displaystyle{ P(P(x))=P(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\).

Rzut ortogonalny jest szczególnym przypadkiem. Jeżeli \(\displaystyle{ V=P(X)}\), to rzut ortogonalny działa tak jak opisałeś - "zapomina o składowej wektora \(\displaystyle{ x}\) w kierunku prostopadłym do \(\displaystyle{ V}\)".
Mozna to sobie przedstawić tak: niech \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_k}\) będzie bazą ortonormalną \(\displaystyle{ V}\). Uzupełniamy ją wektorami \(\displaystyle{ w_1,\dots,w_{n-k}}\) do bazy ortonormalnej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Wtedy dla \(\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^k a_iv_i +\sum_{i=k+1}^n a_iw_{i-k}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{i=1}^k a_iv_i}\).

Zatem rzeczywiście rzut ortogonalny skraca wektory, bo \(\displaystyle{ ||x||^2=\sum_{i=1}^k ||a_i||^2 +\sum_{i=k+1}^n ||a_i||^2}\), a \(\displaystyle{ ||P(x)||^2=\sum_{i=1}^k ||a_i||^2}\)

[matinf]

Tak, jest jasne, że długość rzutu ortogonalnego jest nie większa niż rzucany wektor.
Jest też jasne, że rzut ortogonalny wektora przestrzeni na tą samą przestrzeń jest tym samym wektorem.


Mamy, że:
\(\displaystyle{ x\in X, x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i\rangle e_i}\), gdzie \(\displaystyle{ e_1,...,e_n}\) to baza ortonormalna \(\displaystyle{ X}\).

weźmy teraz podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) tej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), niech rozpinają ją wektory:
\(\displaystyle{ e_1,...,e_k}\) - przy czym pamiętajmy, że częściowo są to te same wektory co w bazie wyżej wymienionej.
Znamy wzór:
\(\displaystyle{ P_V(x) = \sum_{i=1}^{k}\langle x, e_i\rangle e_i}\).
Więc albo moja głowa się przegrzała, albo taki rzut ortogonalny dla wektora \(\displaystyle{ [a_1,a_2,...,a_k,...,a_n]}\) zwraca wektor \(\displaystyle{ [a_1,....,a_k]}\) czyli faktycznie ucina końcówkę.

Doszedłem do tego co Ty, trochę inną drogą. Zgadza się ?

[a4karo]

Nie. Nie masz gwarancji, że przestrzeń na którą rzutujesz rozpinaja wektory zadanej z góry bazy.
Weź np. Płaszczyznę że standardowa bazą i rzut na prostą x=y