Wielomian minimalny

[Benny01]

Mam powiedzmy wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ \phi (\lambda)=(\lambda -1)^3(\lambda +3)^2}\). Czym będzie wielomian minimalny oraz czym się różni od wielomianu anulującego, bo czytam i ciężko mi ogarnąć różnice.

[Slup]

Niech \(\displaystyle{ A\in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{K})}\). Wielomian anulujący dla \(\displaystyle{ A}\) to taki wielomian \(\displaystyle{ p(x)\in \mathbb{K}[x]}\), że:
\(\displaystyle{ p(A)=0}\)
Oczywiście takich wielomianów jest na ogół bardzo dużo.
Wielomian minimalny dla \(\displaystyle{ A}\) to z definicji taki wielomian \(\displaystyle{ q(x)\in \mathbb{K}[x]}\), że:
1) \(\displaystyle{ q(x)}\) jest anulujący dla \(\displaystyle{ A}\)
2) dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ p(x)\in \mathbb{K}[x]}\), który jest anulujący dla \(\displaystyle{ A}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ q(x)|p(x)}\)
Zatem wielomian minimalny to taki wielomian anulujący, który dzieli dowolny inny wielomian anulujący. Nazwa jest bardzo sugestywna.
Jeśli \(\displaystyle{ q(x)}\) jest minimalny dla \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ \alpha q(x)}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in \mathbb{K}\setminus \{0\}}\) też jest minimalny dla \(\displaystyle{ A}\) i na odwrót. Tzn. dwa dowolne wielomiany minimalne dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) różnią się o różny od zera czynnik skalarny. Czasem zakłada się, że najstarszy współczynnik w wielomianie minimalnym wynosi \(\displaystyle{ 1}\)(co zawsze można uzyskać skalując) i wówczas wielomian minimalny jest wyznaczony jednoznacznie.
Warto też zaznaczyć, że z twierdzenia Cayley'a-Hamilton'a wynika, iż wielomian charakterystyczny dla \(\displaystyle{ A}\) jest anulujący, ale niekoniecznie jest minimalny.
To teraz może przykłady. Niech:
\(\displaystyle{ A_1= \left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0& 1 \end{array} \right]}\)
Wówczas wielomian charakterystyczny dla \(\displaystyle{ A_1}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \chi_{A_1}(x)=(x-1)^2}\)
Natomiast unormowany(najstarszy współczynnik równy \(\displaystyle{ 1}\)) wielomian minimalny ma postać:
\(\displaystyle{ p_{A_1}(x)=x-1}\)
Natomiast dla macierzy:
\(\displaystyle{ A_2= \left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0& 1 \end{array} \right]}\)
wielomian charakterystyczny to:
\(\displaystyle{ \chi_{A_2}(x)=(x-1)^2}\)
i w tym wypadku jest on równy unormowanemu wielomianowi minimalnemu dla \(\displaystyle{ A_2}\).
Zauważ, że obie macierze mają ten sam wielomian charakterystyczny, a różne wielomiany minimalne.

[Benny01]

Nie widzę różnicy, dlaczego w tej drugiej macierzy nie jest ten sam wielomian minimalny. Przecież też można \(\displaystyle{ (x-1)^2}\) podzielić przez \(\displaystyle{ x-1}\)

[Slup]

Wielomian minimalny musi spełniać dwa warunki!!!!!!
Jeden z nich mówi o tym, że wielomian minimalny jest wielomianem anulującym.
Czy \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\) jest anulujący dla \(\displaystyle{ A_2}\)?
Sprawdzamy:
\(\displaystyle{ q(A_2)=A_2-I=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0& 1 \end{array} \right]-I=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0& 0\end{array}\right]}\)
Stąd \(\displaystyle{ q(A_2)\neq 0}\) tzn. macierz \(\displaystyle{ q(A_2)}\) nie jest macierzą zerową, bo ma jedynkę w prawym górnym rogu. Oznacza to, że \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\) nie jest wielomianem anulującym czyli nie może też być wielomianem minimalnym.
To jeszcze sprawdźmy jak wygląda sytuacja dla \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\). Czy \(\displaystyle{ q(x)}\) jest anulujący dla \(\displaystyle{ A_1}\)?
Sprawdzamy:
\(\displaystyle{ q(A_1)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{array} \right]-I=0}\)
Wychodzi zero, a zatem \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\) jest anulujący. Super! Ma on stopień równy jeden. Z drugiej strony wielomian minimalny musi dzielić każdy wielomian anulujący. Skoro mamy wielomian anulujący stopnia jeden, to wielomian minimalny jest albo stopnia jeden i wtedy jest równy \(\displaystyle{ q(x)}\) z dokładnością do skalowania, albo jest stopnia zero. Wielomiany stopnia zero to wielomiany stałe. Wielomiany stałe i niezerowe nie bardzo są anulujące dla jakiejkolwiek niezerowej macierzy. Jest jeszcze wielomian zerowy-on anuluje każdą macierz. Z drugiej strony gdyby wielomian zerowy był minimalny dla \(\displaystyle{ A_1}\), to musiałby dzielić wielomian anulujący \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\). Ale wielomian zerowy nie dzieli \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\)!!! Czyli nie może być minimalnym wielomianem tej macierzy.
Stąd wielomian minimalny dla \(\displaystyle{ A_1}\) to \(\displaystyle{ q(x)=x-1}\).

[Benny01]

Ok myślę, że teraz rozumiem. Szukam takiego wielomianu, który dzieli wielomian anulujący oraz sam nim jest. Takich wielomianów jest zazwyczaj parę, ale szukam tego, który ma najniższy stopień. Jest jakiś szybszy sposób, aby sprawdzić czy owy wielomian jest wielomianem anulującym?

[Slup]

Jeśli masz macierz w postaci klatkowej Jordana np. nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), to łatwo można znaleźć wielomian minimalny.
Załóżmy, że macierz \(\displaystyle{ A\in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})}\) ma wartości własne \(\displaystyle{ \alpha_1}\),...,\(\displaystyle{ \alpha_n}\) oraz w postaci Jordana ma klatki
wymiarów:
\(\displaystyle{ d_{i1}}\),...,\(\displaystyle{ d_{in_i}}\)
które odpowiadają wartości własnej \(\displaystyle{ \alpha_i}\). Wówczas bierzesz:
\(\displaystyle{ d_i=\max(d_{i1},...,d_{in_i})}\)
i wielomian minimalny to:
\(\displaystyle{ q(x)=(x-\alpha_1)^{d_1}...(x-\alpha_i)^{d_i}...(x-\alpha_n)^{d_n}}\)
Np. macierz \(\displaystyle{ A_1}\) ma jedną wartość własną \(\displaystyle{ \alpha_1=1}\) oraz dwie klatki wymiaru \(\displaystyle{ 1}\), które jej odpowiadają. Stąd:
\(\displaystyle{ d_{11}=d_{12}=1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ d_1=\max(d_{11},d_{12})=\max(1,1)=1}\)
i wielomian minimalny:
\(\displaystyle{ q(x)=(x-\alpha_1)^{d_1}=(x-1)^1=x-1}\)
Teraz macierz \(\displaystyle{ A_2}\) też ma jedną wartość własną \(\displaystyle{ \alpha_1=1}\) z tą różnicą, że ma tylko jedną klatkę Jordana wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Zatem:
\(\displaystyle{ d_{11}=2}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ d_1=\max(d_{11})=\max(2)=2}\)
Wielomian minimalny:
\(\displaystyle{ q(x)=(x-\alpha_1)^{d_1}=(x-1)^2}\)
Dla macierzy z większą liczbą wartości własnych będzie po prostu więcej czynników liniowych, ale krotności każdego to maksimum wymiarów klatek, które odpowiadają temu czynnikowi liniowemu tj. tej wartości własnej.

[Benny01]

Ok, dzięki Ci bardzo