Dowód z wyznacznikami

[Benny01]

Jedno z paru twierdzeń o wyznacznikach mówi, że
\(\displaystyle{ det[k_1,k_2,...,k_i,...,k_j,...,k_n]=-det[k_1,k_2,...,k_j,...,k_i,...,k_n]}\)
Jeśli mam to udowodnione to w dowodzie na to, że jeśli mamy w macierzy dwie takie same kolumny to wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\) mogę skorzystać z tego w taki sposób, że
\(\displaystyle{ det[k_1,k_2,...,k_i,...,k_i,...,k_n]=-det[k_1,k_2,...,k_i,...,k_i,...,k_n]}\), więc
\(\displaystyle{ 2det[k_1,k_2,...,k_i,...,k_i,...,k_n]=0 \Rightarrow det[k_1,k_2,...,k_i,...,k_i,...,k_n]=0}\)?

[Slup]

Tak. Zwróć tylko uwagę na to, że ten dowód nie działa w ciałach charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\).

[Benny01]

Nie rozumiem.

[Slup]

Jeżeli interesują Cię macierze o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) itp. to Twój dowód jest całkowicie poprawny.
Zakładam, że wiesz co to jest charakterystyka ciała lub wiesz czym jest dwuelementowe ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\) reszt modulo \(\displaystyle{ 2}\). Jeżeli tego nie wiesz, to najwyraźniej nie jest Ci to potrzebne i nie musisz czytać tego, co dalej napisałem. Jeżeli Twoje macierze mają współczynniki np. w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\), to w takim ciele \(\displaystyle{ 2=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ 2a=0\cdot a=0}\)
jest prawdziwe bez względu na to ile wynosi \(\displaystyle{ a}\). Stąd w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2}\) (podobnie jak w dowolnym innym ciele charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\)) implikacja:
\(\displaystyle{ 2a=0 \Rightarrow a=0}\)
nie jest prawdziwa.

[Benny01]

Na pierwszym semestrze mieliśmy coś wspomniane o ciałach modulo, więc nie wiem czy dowód ma dotyczyć również tych ciał, bo mam napisane tylko, że nad ciałem K.
Dowód wygląda tak:
\(\displaystyle{ det[k_1,...,k_j,...,k_j,...,k_n]=-det[k_1,...,k_j,...,k_j,...,k_n]=
\sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma (1)1} \cdot ... \cdot a_{\sigma (n)n}=0}\)
\(\displaystyle{ \omega}\) - dana permutacja
\(\displaystyle{ \omega '}\) - dualna do \(\displaystyle{ \omega}\)
\(\displaystyle{ \omega (l)= \begin{cases} l, \ l \neq i \ \wedge l \neq j\\ w(j), \ l=i\\ w(i), \ l=j \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a_{\omega (1)1} \cdot ... \cdot a_{\omega (n)n}=-a_{\omega ' (1)1} \cdot ... \cdot a_{\omega ' (n)n}}\)

Nie rozumiem do czego to ma być i w jaki sposób to dowodzi, więc chciałem to ominąć.

[Slup]

Chcesz dowód, który działa nad dowolnym ciałem. Ok.
Niech \(\displaystyle{ [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}}\) będzie macierzą. Założmy, że \(\displaystyle{ 1\leq k_1<k_2\leq n}\) są numerami kolumn tej macierzy, które są równe. Niech \(\displaystyle{ \tau\in S_n}\) będzie permutacją, która zamienia \(\displaystyle{ k_1}\) z \(\displaystyle{ k_2}\), a poza tym jest identycznością. Wówczas zbiór wszystkich permutacji \(\displaystyle{ S_n}\) można podzielić(na wiele sposobów, ale nam wystarczy wybrać jeden taki podział) na dwa rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ A_2}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ \sigma\in A_1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sigma\cdot \tau\in A_2}\). Ponadto z definicji znaku permutacji mamy:
\(\displaystyle{ \mathrm{sgn}(\sigma)=-\mathrm{sgn}(\sigma\cdot \tau)}\)
To teraz:
\(\displaystyle{ \mathrm{det}([a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n})=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}...a_{\sigma(n)n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}...a_{\sigma(n)n}+\sum_{\sigma\in A_2}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}...a_{\sigma(n)n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}...a_{\sigma(n)n}+\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma\cdot \tau)a_{\sigma\cdot \tau(1)1}a_{\sigma\cdot \tau(2)2}...a_{\sigma\cdot \tau(n)n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(k_1)k_1}...a_{\sigma(k_2)k_2}...a_{\sigma(n)n}-\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(k_2)k_1}...a_{\sigma(k_1)k_2}...a_{\sigma(n)n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{\sigma\in A_1}\mathrm{sgn}(\sigma)(a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(k_1)k_1}...a_{\sigma(k_2)k_2}...a_{\sigma(n)n}-a_{1\sigma(1)}...a_{\sigma(k_2)k_1}...a_{\sigma(k_1)k_2}...a_{\sigma(n)n})=}\)
\(\displaystyle{ =0}\)
bo:
\(\displaystyle{ a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(k_1)k_1}...a_{\sigma(k_2)k_2}...a_{\sigma(n)n}-a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(k_2)k_1}...a_{\sigma(k_1)k_2}...a_{\sigma(n)n}=0}\)
z racji na to, że:
\(\displaystyle{ a_{\sigma(k_1)k_1}=a_{\sigma(k_1)k_2}, a_{\sigma(k_2)k_1}=a_{\sigma(k_2)k_2}}\)

[Benny01]

Nie bardzo widzę rozdzielenia tego na dwie sumy ;/

[Slup]

Podzbiory \(\displaystyle{ S_n}\) postaci:
\(\displaystyle{ B_{\sigma}=\{\sigma,\sigma\cdot \tau\}}\)
dla różnych \(\displaystyle{ \sigma\in S_n}\) są równe, albo rozłączne, co już pozostawię Tobie do sprawdzenia. Zauważ w tym celu, że jeśli \(\displaystyle{ \delta=\sigma\cdot \tau}\), to:
\(\displaystyle{ \delta\cdot \tau=\sigma\cdot \tau\cdot \tau=\sigma\cdot \tau^2=\sigma\cdot 1=\sigma}\)
Stąd \(\displaystyle{ B_{\sigma}=B_{\sigma\cdot \tau}}\).
Teraz z każdego takiego dwuelementowego podzbioru wybierasz po jednym elemencie i otrzymujesz \(\displaystyle{ A_1}\). Potem bierzesz:
\(\displaystyle{ A_2=S_n\setminus A_1}\)
Mógłbym być bardziej precyzyjnym, ale to już byłaby pewna przesada.

[bough]

Można też skorzystać z innej własności wyznacznika: tej, że nie zmienia się, gdy do jakiejś kolumny dodamy inną przemnożoną przez dowolne \(\displaystyle{ a}\) z ciała \(\displaystyle{ K}\). Wtedy możesz wyzerować sobie jedną kolumnę i już z permutacyjnej definicji wynika, że wyznacznik to \(\displaystyle{ 0}\). Ten dowód nie zależy od tego, czy \(\displaystyle{ 2 = 0}\) w danym ciele.

[Benny01]

To się nie uda, bo aby udowodnić ową własność trzeba skorzystać z tego, że jeśli w macierzy są dwie takie same kolumny to wyznacznik jest zerem, no chyba, że masz inny pomysł

[bough]

Nie mam innego pomysłu. Chyba tak, jak piszesz, jest najprościej

[Benny01]

Tak, więc Twój pomysł odpada