Jak znaleźć macierz tego przekształcenia?

[Anxious]

Witam,

Mam problem z wyznaczeniem macierzy przeksztalcenia, potrzebnej do rozwiazania ponizszego zadania:

Napisac macierze podanych przeksztalcen liniowych \(\displaystyle{ L : U \rightarrow U}\) w podanych bazach przestrzeni \(\displaystyle{ U}\). Wykorzystac wzór na zmiane macierzy przeksztalcenia przy zmianie bazy:

\(\displaystyle{ (Lp)(x) = x^2p(0)+xp'(1), U=R_2[x], p_1 = x^2 + x + 1, p_2 = 1, p_3 = x +1}\)

Potrzebuje teraz pomocy z znalezieniem macierzy \(\displaystyle{ A}\) (przyjmując bazę za podstawową) do wzoru:

\(\displaystyle{ A' = P^{-1}AP}\)

Czy mogłby ktoś mi powiedzieć, jak to się robi dla takiego przekształcenia? Z góry dziękuję.

[Benny01]

\(\displaystyle{ L(p_1(x))=x^2+3x}\)
\(\displaystyle{ L(p_2(x))=x^2}\)
\(\displaystyle{ L(p_3(x))=x^2+x}\)
\(\displaystyle{ x^2+3x= \alpha p_1+ \beta p_2+ \gamma p_3}\)
\(\displaystyle{ \alpha =1}\), \(\displaystyle{ \beta =-3}\), \(\displaystyle{ \gamma =2}\)
Zatem pierwszą kolumną Twojej macierzy odwzorowania będzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-3\end{bmatrix}}\)
Kolejne dwie kolumny analogicznie.

[Anxious]

\(\displaystyle{ L(p_1(x))=x^2+3x}\)
\(\displaystyle{ L(p_2(x))=x^2}\)
\(\displaystyle{ L(p_3(x))=x^2+x}\)
\(\displaystyle{ x^2+3x= \alpha p_1+ \beta p_2+ \gamma p_3}\)
\(\displaystyle{ \alpha =1}\), \(\displaystyle{ \beta =-3}\), \(\displaystyle{ \gamma =2}\)
Zatem pierwszą kolumną Twojej macierzy odwzorowania będzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-3\end{bmatrix}}\)
Kolejne dwie kolumny analogicznie.

Dziękuje za odpowiedź, aczkolwiek w poleceniu wyraźnie zawarta jest informacja, że macierz tą należy znaleźć "wykorzystując wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy". Bardziej zależy mi na opanowaniu samej metody niż na rozwiązaniu.

( Drobny błąd w zapisie macierzy - powinno być:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-3\\2\end{bmatrix}}\) )

[Benny01]

Macierz \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą odwzorowania w bazach standardowych.
\(\displaystyle{ f(x^2)=2x}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
\(\displaystyle{ f(1)=x^2}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&0&1\\2&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\)

[Anxious]

Dziękuję bardzo

-- 2 wrz 2016, o 18:00 --

Mam kolejne zadanie z podobnym poleceniem i trochę innym przekształceniem

\(\displaystyle{ (Lp)(x) = xp'(x+1) - p(x+1)}\) dla \(\displaystyle{ p \in R_{3}[x]}\)

Od początku miałem trochę problemy ze zrozumieniem tego zapisu, a ta jedynka którą dodajemy w nawiasie mnie dodatkowo dezorientuje. Czy mógłbym prosić o rozpisany przykład podstawienia z bazy podstawowej? Np. \(\displaystyle{ x^3}\)

[Benny01]

Wiesz, że \(\displaystyle{ p(x)=x^3}\), więc \(\displaystyle{ p(x+1)=(x+1)^3}\)
\(\displaystyle{ L(p(x))=x \cdot 3(x+1)^2-(x+1)^3}\)
No chyba, że się mylę to proszę o poprawienie

[Anxious]

Wiesz, że \(\displaystyle{ p(x)=x^3}\), więc \(\displaystyle{ p(x+1)=(x+1)^3}\)
\(\displaystyle{ L(p(x))=x \cdot 3(x+1)^2-(x+1)^3}\)
No chyba, że się mylę to proszę o poprawienie

Wynik wyszedł poprawny, dzięki - teraz już łapię jak to działa.