Układ równań z dwoma parametrami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Mineai
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 sty 2016, o 13:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tychy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: Mineai »

Podać warunki rozwiązalności układu równań, w zależności od parametrów a i b

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+3z=-1\\
ax+5y+14z=b\\
-x+2y+5z=-4 \end{cases}}\)


Jak dotąd miałam styczność z zadaniami, gdzie był jeden parametr. Będę wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu.
Awatar użytkownika
AloneAngel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 630
Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 176 razy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: AloneAngel »

Metoda wyznacznikowa nie pomoże?
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: squared »

Analogicznie robisz, jak przy jednym parametrze - doprowadź macierz do macierzy z zerami pod przekątną. Można to zrobić sprawnie nawet bez ułamków.

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccccc}1&1&3&|&-1\\a&5&14&|&b\\-1&2&5&|&-4 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&3&1&|&-1\\5&14&a&|&b\\2&5&-1&|&-4 \end{array}\right)
\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&3&1&|&-1\\0&-1&a-5&|&b+5\\0&-1&-3&|&-2 \end{array}
\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&3&1&|&-1\\0&-1&a-5&|&b+5\\0&0&-a+2&|&-b-7 \end{array}
\right)}\)


Jeśli się nie pomyliłem i dobrze przeanalizowałem to:
\(\displaystyle{ a=2, b\neq -7}\) - układ sprzeczny
\(\displaystyle{ a=2, b=-7}\) - układ nieoznaczony
\(\displaystyle{ a\neq 2, b\in \RR}\) - układ oznaczony

PS: Poprawiłem błąd.
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2016, o 20:17 przez squared, łącznie zmieniany 3 razy.
Mineai
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 sty 2016, o 13:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tychy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: Mineai »

Z tego co widzę zrobiłeś błąd pod sam koniec przy obliczaniu a i b, jednak dziękuję Ci za rozwiązanie! Jest o wiele krótsze niż to co ja nawyprawiałam
Mimo wszystko wstawię dla sprawdzenia czy moje rozumowanie jest dobre:

Najpierw wyliczyłam a: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&3\\a&5&14\\-1&2&5\end{bmatrix} a=2}\) i wiem, że układ jest oznaczony dla \(\displaystyle{ a \in R}\){2}

Następnie wyliczyłam b: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&3&-1\\2&5&14&b\\-1&2&5&-4\end{bmatrix} ~ \begin{bmatrix} 1&1&3&-1\\0&3&8&2+b\\0&3&8&-5\end{bmatrix} b=-7}\)

Zaczęłam liczyć rzędy, rz(A)=rz(U) -> dla \(\displaystyle{ a=2, b=-7}\) układ nieoznaczony
dla \(\displaystyle{ a \neq 2}\) układ oznaczony
dla \(\displaystyle{ a=2, b \neq 7}\) układ sprzeczny
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: squared »

Ja uważam, że metoda doprowadzania do postaci takiej jak ja, jest najłatwiejsza.

Ty korzystałaś z wyznaczania rzędów macierzy A? Moim zdaniem to trochę droga pod górkę.


Gdzie Twoim zdaniem mam błąd - trzy razy sprawdzałem i nie widzę.
Mineai
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 sty 2016, o 13:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tychy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: Mineai »

Dlatego podziękowałam w poprzednim poście za Twoją metodę, jest szybsza - czyż nie?
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccccc}1&3&1&|&-1\\0&-1&a-5&|&b+5\\0&-1&-3&|&-2 \end{array}
\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc}1&3&1&|&-1\\0&-1&a-5&|&b+5\\0&0&a-8&|&b+3 \end{array}
\right)}\)


Rozumiem, że drugi wiersz pomnożyłeś razy \(\displaystyle{ -1}\) i dodałeś do trzeciego:
\(\displaystyle{ (-1) \cdot (-1)+(-1)=0\\
-(a-5)+(-3) \rightarrow -a+2 a=2\\
-(b+5)+(-2) \rightarrow -b-7 b=-7}\)
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2016, o 22:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Układ równań z dwoma parametrami

Post autor: squared »

Tak z rozpędu dodałem trzeci wiersz do drugiego, zamiast od trzeciego odjąć drugi. Poprawiłem to. Teraz jest wszystko dobrze i te same rozwiązania. Dziękuję!
ODPOWIEDZ